Sabendo que a e b são números reais e positivos, resolva as equações:
raiza+x+raiza-xraiza+x-raiza-x=ba

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação irracional
raiza+x+raiza-xraiza+x-raiza-x=ba,
onde a>0, b>0 e a incógnita x deve respeitar o domínio das raízes, isto é -a<= x<= a. Vamos multiplicar em cruz, isolar as raízes, elevar ao quadrado e depois checar possíveis soluções extraviadas.

Passo 2

Multiplicando em cruz, obtemos
al(raiza+x+raiza-xr) = bl(raiza+x-raiza-xr)
Reagrupando termos com raiza+x e raiza-x,
(a-b),raiza+x ;+;(a+b),raiza-x=0

Passo 3

Isolamos um radical e elevamos ao quadrado. Por exemplo,
(a-b),raiza+x = -(a+b),raiza-x
Longrightarrow;(a-b)^2,(a+x)=(a+b)^2,(a-x)

Passo 4

Expandindo e resolvendo para x, note que
(a-b)^2(a+x)=(a+b)^2(a-x) ;Longrightarrow; xl((a-b)^2+(a+b)^2r) =al((a+b)^2-(a-b)^2r)
Como (a-b)^2+(a+b)^2=2(a^2+b^2) e (a+b)^2-(a-b)^2=4ab, vem
x=acdot4ab2(a^2+b^2) =2a^2ba^2+b^2

Passo 5

Precisamos checar o sinal na etapa em que isolamos antes de elevar ao quadrado:
(a-b)raiza+x=-(a+b)raiza-x só faz sentido se o lado esquerdo for não-positivo, isto é a-b<=0. Logo requeremos
a-b<=0 Long<=ftrightarrow b>= a
Além disso, com b>= a a solução satisfaz -a<= x<= a sem gerar raízes negativas.

Resposta

x=2a^2ba^2+b^2,válido se b>= a á

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