Resolva, em R, as inequações:
(5 x-1) cdot(2 x+6)^8 cdot(4-6 x)^6 >= 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R a inequação
(5x-1),(2x+6)^8,(4-6x)^6>=0
O conteúdo é análise de sinal de produto de fatores, onde os expoentes pares tornam alguns fatores sempre não negativos. Precisamos encontrar as raízes de cada fator, analisar as multiplicidades (par ou ímpar) e montar o quadro de sinais.

Passo 2

Determinamos as raízes de cada fator:
  • 5x-1=0 em x=tfrac15, multiplicidade 1 (ímpar).
  • 2x+6=0 em x=-3, multiplicidade 8 (par).
  • 4-6x=0 em x=tfrac46=tfrac23, multiplicidade 6 (par).

Passo 3

Como (2x+6)^8>=0 e (4-6x)^6>=0 para todo x, o sinal do produto só muda quando 5x-1 muda de sinal, ou seja em x=tfrac15. Para x<tfrac15 temos 5x-1<0 e o produto é negativo (exceto nas raízes de expoente par, que dão zero). Para x>tfrac15 temos 5x-1>0 e o produto é positivo.

Passo 4

Queremos (5x-1),(2x+6)^8,(4-6x)^6>=0. Isso ocorre quando o produto é positivo (que dá x>tfrac15) ou zero. As raízes que anulam o produto são x=-3, x=tfrac23 (ambas por fatores de multiplicidade par) e x=tfrac15 (multiplicidade ímpar). Contudo x=tfrac15 também separa as regiões de sinal. Resumindo:
  • Para x<tfrac15, só há zero em x=-3.
  • Em x=tfrac15, o produto é zero.
  • Para x>tfrac15, o produto é positivo, e em x=tfrac23 volta a ser zero (mas continua >=0 em toda a região).

Resposta

,x=-3;cup;l[tfrac15,;+inftyr)

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