Resolva, em R, as inequações:
2 x^2+4 x+53 x^2+7 x+2<-2

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R a inequação
2x^2+4x+53x^2+7x+2 < -2
O tema é inequação racional. Para resolver, vamos transformar tudo num único quociente racional, fatorar numerador e denominador, e fazer o estudo de sinais.

Passo 2

Primeiro, somamos 2 em ambos os lados para ter uma única fração:
2x^2+4x+53x^2+7x+2 + 2 < 0
Colocando over o mesmo denominador:
2x^2+4x+5 + 2l(3x^2+7x+2r)3x^2+7x+2 < 0
No numerador fica
2x^2+4x+5 + 6x^2+14x+4 = 8x^2+18x+9
Então a inequação é
8x^2+18x+93x^2+7x+2 < 0

Passo 3

Agora fatoramos numerador e denominador:
8x^2+18x+9 = 8l(x+tfrac32r)l(x+tfrac34r),
3x^2+7x+2 = (3x+1)(x+2)
Logo a inequação vira
8,(x+tfrac32),(x+tfrac34)(3x+1),(x+2) < 0
Os pontos críticos são as raízes de cada fator:
x = -tfrac32, x=-tfrac34, x=-2, x=-tfrac13

Passo 4

Fazemos uma tabela de sinais nos intervalos determinados por
-infty,;-2,;-tfrac32,;-tfrac34,;-tfrac13,;+infty
Testando um valor em cada intervalo, obtemos que o quociente é negativo somente em
(-2,,-tfrac32)e(-tfrac34,,-tfrac13)
Em -2 e em -tfrac13 o denominador zera (proíbido) e em -tfrac32, -tfrac34 o numerador zera (não vale para “ <;0”).

Resposta

xinl(-2,,-tfrac32r),cup,l(-tfrac34,,-tfrac13r)

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