Resolva, em R, as inequações:
(x+1)^3-1(x-1)^3+1>1

Passo 1

O problema pede para resolver em R a inequação
(x+1)^3-1(x-1)^3+1 > 1
O conteúdo principal aqui é inequação racional: vamos determinar o domínio, subtrair 1 dos dois lados, colocar num único quociente, simplificar e estudar o sinal desse quociente.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos o domínio. O denominador não pode ser zero:
(x-1)^3 + 1 = 0 implies (x-1)^3 = -1 implies x-1 = -1 implies x = 0
Portanto, x neq 0.

Passo 3

Reescrevendo numerador e denominador explicitamente:
(x+1)^3 - 1 = x^3 + 3x^2 + 3x +1 -1 = x^3 + 3x^2 + 3x,
(x-1)^3 + 1 = x^3 - 3x^2 + 3x -1 +1 = x^3 - 3x^2 + 3x
A inequação fica
x^3 + 3x^2 + 3xx^3 - 3x^2 + 3x > 1

Passo 4

Subtraímos 1 de ambos os lados e colocamos sobre o mesmo denominador:
x^3 + 3x^2 + 3xx^3 - 3x^2 + 3x - 1 > 0 Longrightarrow l(x^3 + 3x^2 + 3xr) - l(x^3 - 3x^2 + 3xr)x^3 - 3x^2 + 3x > 0
No numerador sobra
x^3 + 3x^2 + 3x - x^3 + 3x^2 - 3x = 6x^2,
logo a inequação equivale a
6x^2x^3 - 3x^2 + 3x > 0

Passo 5

Observe que para todo . Logo o sinal do quociente depende apenas de
O trinômio tem discriminante , então é sempre positivo. Assim

Passo 6

Para que 6x^2D(x)>0 com xneq0, precisamos de D(x)>0, isto é x>0. Não há outras restrições no domínio além de xneq0.

Resposta

(0,infty)

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