Determine os valores de x in R que satisfazem a inequação
(x^2-2 x+8) cdot(x^2-5 x+6) cdot(x^2-16)<0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
(x^2-2x+8),(x^2-5x+6),(x^2-16)<0
que é um exercício de análise de sinais de polinômios e fatores quadráticos. Vamos estudar cada fator, encontrar suas raízes e determinar em quais intervalos o produto é negativo.

Passo 2

Começo analisando o primeiro fator ;x^2-2x+8. Seu discriminante é
De<a = (-2)^2-4cdot1cdot8 = 4 - 32 = -28 < 0,
portanto ;x^2-2x+8>0 para todo xinR. Como esse fator é sempre positivo, ele não altera o sinal do produto, e a inequação reduz-se a
(x^2-5x+6),(x^2-16) < 0

Passo 3

Agora fatoro os dois quadráticos restantes:
x^2-5x+6 = (x-2)(x-3),
x^2-16 = (x-4)(x+4)
O sinal de cada um deles muda apenas em suas raízes:
  • (x-2)(x-3) é negativo quando 2<x<3 e positivo em x<2 ou x>3.
  • (x-4)(x+4) é negativo quando -4<x<4 e positivo em x<-4 ou x>4.

Passo 4

Para que o produto (x-2)(x-3),(x-4)(x+4) seja negativo, exatamente um dos dois fatores deve ser negativo. Há, então, dois casos:
  1. (x-2)(x-3)<0 e (x-4)(x+4)>0.
    Isso significaria 2<x<3 e (ou x<= -4 ou x>=4), mas não há interseção entre (2,3) e (-infty,-4]cup[4,infty).
  2. (x-2)(x-3)>0 e (x-4)(x+4)<0.
    Aqui precisamos de x<2 ou x>3 e, simultaneamente, -4<x<4.
    • Se x<2, então a condição -4<x<4 vira -4<x<2.
    • Se x>3, então junto a -4<x<4 3<x<4.
Como queremos estritamente menor que zero, excluímos as raízes -4,2,3,4.

Resposta

xin(-4,2),cup,(3,4)

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