O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
onde
O conteúdo é equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e forçamento em regime “peça a peça”. Vamos (i) achar a solução geral homogênea, (ii) achar uma particular para 0<= t<pi e usar as condições iniciais, e (iii) para t>=pi montar a solução homogênea ajustando-a para ser contínua até a derivada em t=pi.
Passo 2
A equação homogênea associada é
y'' + y' + tfrac54,y = 0
O polinômio característico é
r^2 + r + tfrac54 = 0, De<a = 1 - 5 = -4,
logo
r = -1pm 2,i2 = -tfrac12 pm i
Assim a solução geral homogênea é
yh(t) = e^-t/2l(Acos t + Bsin tr)
Passo 3
Para
Calculando e igualando a dá o sistema
cuja solução é
Logo, para (0\le t<\pi],
Passo 4
Aplicamos as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0. Em t=0 temos
y(0)=A - tfrac1617=0Longrightarrow A=tfrac1617,
e para y'(0) calcula-se a derivada completa e chega-se a