Resolva os problemas de valor inicial:
(h)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + y' + tfrac54,y = f(t), y(0)=0,;y'(0)=0,
onde
f(t)= sin t,&0<= t<pi, 0,&t>=pi
O conteúdo é equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e forçamento em regime “peça a peça”. Vamos (i) achar a solução geral homogênea, (ii) achar uma particular para 0<= t<pi e usar as condições iniciais, e (iii) para t>=pi montar a solução homogênea ajustando-a para ser contínua até a derivada em t=pi.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + y' + tfrac54,y = 0
O polinômio característico é
r^2 + r + tfrac54 = 0, De<a = 1 - 5 = -4,
logo
r = -1pm 2,i2 = -tfrac12 pm i
Assim a solução geral homogênea é
yh(t) = e^-t/2l(Acos t + Bsin tr)

Passo 3

Para
Calculando e igualando a dá o sistema
cuja solução é
Logo, para (0\le t<\pi],

Passo 4

Aplicamos as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0. Em t=0 temos
y(0)=A - tfrac1617=0Longrightarrow A=tfrac1617,
e para y'(0) calcula-se a derivada completa e chega-se a
y'(0)=-tfrac12A+B + tfrac417=0Longrightarrow B=tfrac417
Portanto, para 0<= t<pi,
boxed y(t)=e^-t/2l(tfrac1617cos t + tfrac417sin tr) +tfrac417sin t - tfrac1617cos t

Passo 5

Para t>=pi o forçamento é zero, então a solução é puramente homogênea,
y(t)=e^-t/2l(Ccos t + Dsin tr)
As constantes C,D são determinadas exigindo continuidade de y e y' em t=pi. Calcula-se
y(pi^-)=y(pi^+)=tfrac1617l(1-e^-pi/2r), y'(pi^-)=y'(pi^+)=tfrac417l(e^-pi/2-1r),
e impondo essas igualdades encontra-se
C = -tfrac1617l(e^pi/2-1r), D = -tfrac417l(e^pi/2-1r)
Logo, para t>=pi,
boxed y(t)=e^-t/2l[-tfrac1617l(e^pi/2-1r)cos t -tfrac417l(e^pi/2-1r)sin tr]

Resposta

Para recapitular de forma compacta:
Para 0<= t<pi: y(t)=e^-t/2l(tfrac1617cos t+tfrac417sin tr) +tfrac417sin t-tfrac1617cos t
Para t>=pi: y(t)=e^-t/2l[-tfrac1617(e^pi/2-1)cos t -tfrac417(e^pi/2-1)sin tr]

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