Resolva os problemas de valor inicial:
(i)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
y'' + 4y = f(t), y(0)=0,;y'(0)=0,
onde
f(t)= 0, & 0 <= t<pi, 2, & pi <= t<3pi, 0, & t>=3pi
O conteúdo é equações lineares com coeficientes constantes e termo forçante piecewise. Vamos usar a resposta ao impulso do sistema e a integral de convolução.

Passo 2

Para a equação
y'' + 4y = f(t),
com y(0)=y'(0)=0, a resposta é dada por
y(t)=integral0^th(t-tau),f(tau),dtau,
onde h(t) é a resposta ao impulso de y''+4y= de<a(t). Resolvendo h''+4h=de<a(t) com h(0)=0, h'(0)=1, obtém-se
h(t)=12sin(2t)(t>=0)

Passo 3

Escrevemos f(t) usando degraus de Heaviside:
f(t)=2l[u(t-pi)-u(t-3pi)r]
Logo na convolução (1/2)sin(2(t-tau)),f(tau) o fator tfrac12 cancela com o 2, ficando
y(t)=integral0^tsinl(2(t-tau)r)l[u(tau-pi)-u(tau-3pi)r],dtau

Passo 4

Caso 0<= t<pi: como tau<pi em toda a faixa de integração, u(tau-pi)=0 e u(tau-3pi)=0. Logo
y(t)=0

Passo 5

Caso pi<= t<3pi: o integrando só contribui para tau entre pi e t. Então
y(t) =integralpi^tsinl(2(t-tau)r),dtau
Fazendo u=t-tau, quando tau=pi temos u=t-pi e quando tau=t temos u=0. Então
y(t) =integral0^,t-pisin(2u),du =l[-tfraccos(2u)2r]0^t-pi =1-cosl(2(t-pi)r)2

Passo 6

Caso t>=3pi: o integrando não zero ocorre em tauin[pi,3pi]. Assim
y(t) =integralpi^3pisinl(2(t-tau)r),dtau =integralt-3pi^,t-pisin(2u),du =cosl(2(t-3pi)r)-cosl(2(t-pi)r)2
Como cos(2(t-3pi))=cos(2t-6pi)=cos(2t) e cos(2(t-pi))=cos(2t-2pi)=cos(2t), a diferença é zero. Logo
y(t)=0

Resposta

Para todo t>=0,
y(t)= 0, & 0<= t<pi,[6pt] dfrac1-cosl(2(t-pi)r)2, & pi<= t<3pi,[8pt] 0, & t>=3pi ]

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