Resolva as questões abaixo.
(b) Dê três exemplos de conjuntos abertos e três exemplos de conjuntos que não são abertos.

Passo 1

O enunciado pede que a gente dê três exemplos de conjuntos abertos e três exemplos de conjuntos que não são abertos. O conteúdo envolvido é a definição de conjunto aberto em espaços métricos (por exemplo em R ou R^2). Para resolver vamos usar a definição: um conjunto U é aberto se, para todo ponto xin U, existe um raio varepsilon>0 tal que a bola aberta de raio varepsilon centrada em x fica inteiramente dentro de U.

Passo 2

Definição de conjunto aberto em R^n:
UsubsetR^n é aberto Long<=ftrightarrow forall xin U;exists varepsilon>0:;B(x,varepsilon)subset U, é
onde
B(x,varepsilon)=yinR^nmid |y-x|<varepsilon

Passo 3

Três exemplos de conjuntos abertos (com breve justificativa):
  1. O intervalo (0,1)subsetR.
    Para cada xin(0,1) basta tomar
    varepsilon=minx,,1-x>0
    de modo que (x-varepsilon,x+varepsilon)subset(0,1).
  2. A reta inteira R.
    Qualquer ponto xinR admite bola B(x,varepsilon)=(x-varepsilon,x+varepsilon)subsetR para todo varepsilon>0.
  3. A bola aberta de raio 1 em R^2:
    B((0,0),1)=(x,y)inR^2mid x^2+y^2<1
    Para cada (x,y) com x^2+y^2<1 escolhe-se
    varepsilon=1-raizx^2+y^2>0,
    garantindo B((x,y),varepsilon)subset B((0,0),1).

Passo 4

Três exemplos de conjuntos que não são abertos (com justificativa de falha na definição):
  1. O intervalo fechado [0,1]subsetR.
    No ponto 0 (e também no ponto 1) não existe varepsilon>0 tal que (0-varepsilon,0+varepsilon)subset[0,1], pois qualquer bola ultrapassa 0 e entra em valores negativos.
  2. O intervalo semi-aberto [0,1)subsetR.
    No ponto 0 novamente não há varepsilon>0 com (0-varepsilon,0+varepsilon)subset[0,1), porque parte da bola fica em números negativos.
  3. O conjunto unitário 0subsetR.
    Para x=0 qualquer varepsilon>0 faz com que (0-varepsilon,0+varepsilon) contenha pontos distintos de 0, logo não cabe inteiro no conjunto 0.

Resposta

Exemplos de conjuntos abertos:
(a) (0,1)subsetR.
(b) R.
(c) (x,y)inR^2mid x^2+y^2<1.
Exemplos de conjuntos que não são abertos:
(a) [0,1]subsetR.
(b) [0,1)subsetR.
(c) 0subsetR.

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