Resolva as questões abaixo.
(b) Dê três exemplos de conjuntos abertos e três exemplos de conjuntos que não são abertos.
(b) Dê três exemplos de conjuntos abertos e três exemplos de conjuntos que não são abertos.
Passo 1
O enunciado pede que a gente dê três exemplos de conjuntos abertos e três exemplos de conjuntos que não são abertos. O conteúdo envolvido é a definição de conjunto aberto em espaços métricos (por exemplo em
ou
). Para resolver vamos usar a definição: um conjunto
é aberto se, para todo ponto
, existe um raio
tal que a bola aberta de raio
centrada em
fica inteiramente dentro de
.
Passo 2
Definição de conjunto aberto em
:
onde
Passo 3
Três exemplos de conjuntos abertos (com breve justificativa):
-
O intervalo
.
Para cadabasta tomar
de modo que. -
A reta inteira
.
Qualquer pontoadmite bola para todo . -
A bola aberta de raio 1 em
: Para cadacom escolhe-se
,
garantindo.
Passo 4
Três exemplos de conjuntos que não são abertos (com justificativa de falha na definição):
-
O intervalo fechado
.
No ponto(e também no ponto ) não existe tal que , pois qualquer bola ultrapassa 0 e entra em valores negativos. -
O intervalo semi-aberto
.
No pontonovamente não há com , porque parte da bola fica em números negativos. -
O conjunto unitário
.
Paraqualquer faz com que contenha pontos distintos de , logo não cabe inteiro no conjunto .
Resposta
Exemplos de conjuntos abertos:
(a) .
(b) .
(c) .
(a)
(b)
(c)
Exemplos de conjuntos que não são abertos:
(a) .
(b) .
(c) .
(a)
(b)
(c)