Resolva as seguintes equações lineares de primeira ordem:
d xd t+5 x=sen(3 t);

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
dxdt + 5,x = sen(3t),
que é uma equação linear não homogênea. O conteúdo da matéria aqui é o método do fator integrante para equações lineares de primeira ordem.

Passo 2

Vamos escrever a equação no formato padrão
dxdt + p(t),x = q(t)
com p(t)=5 e q(t)=sin(3t). O fator integrante é
mu(t) = e^integral p(t),dt = e^integral 5,dt = e^5t

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(t)=e^5t, obtemos
e^5tdxdt + 5,e^5tx = e^5tsin(3t)
O lado esquerdo é a derivada do produto e^5tx, logo
ddtl(e^5txr) = e^5tsin(3t)

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
integral ddtl(e^5txr),dt = integral e^5tsin(3t),dt ;Longrightarrow; e^5tx = integral e^5tsin(3t),dt + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Para calcular
integral e^5tsin(3t),dt
usamos a fórmula
integral e^atsin(bt),dt = e^ata^2+b^2l(asin(bt)-bcos(bt)r)
Aqui a=5 e b=3, então
integral e^5tsin(3t),dt = e^5t5^2+3^2l(5sin(3t)-3cos(3t)r) = e^5t34l(5sin(3t)-3cos(3t)r)

Passo 6

Substituindo no resultado de e^5tx e isolando x, temos
e^5tx = e^5t34l(5sin(3t)-3cos(3t)r) + C ;Longrightarrow; x(t) = 5sin(3t)-3cos(3t)34 + C,e^-5t

Resposta

x(t) = 5sin(3t)-3cos(3t)34 + C,e^-5t

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