Resolva, no sentido L S Q, o sistema linear dado. A solução encontrada é solução no sentido habitual?
l2 x+y=3 x-y=0 x+2 y=3 3 x-2 y=1

Passo 1

O enunciado pede a solução, no sentido dos mínimos quadrados (LSQ), do sistema
2x+y=3, x-y=0, x+2y=3, 3x-2y=1
e pergunta se a solução obtida é também solução “no sentido habitual” (isto é, se satisfaz exatamente todas as equações). Para resolver, vamos montar a matriz de coeficientes A e o vetor de termos constantes b e aplicar as equações normais
A^T A,u=A^T b,
onde u=(x,y)^T.

Passo 2

Construímos
As equações normais são

Passo 3

Calculamos primeiro
A^T A = 2&1&1&3 1&-1&2&-2 2 & 1 1 & -1 1 & 2 3 & -2 = 15 & -3 -3 & 10 ,
e depois
A^T b = 2&1&1&3 1&-1&2&-2 3031 =127

Passo 4

Resolvendo o sistema
por exemplo pela regra de Cramer, nota-se que o determinante é
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Passo 5

Verificamos substituindo (x,y)=(1,1) nas quatro equações originais:
2cdot1+1=3, 1-1=0, 1+2cdot1=3, 3cdot1-2cdot1=1
Todas ficam satisfeitas, portanto o sistema é compatível e (1,1) é solução exata.

Resposta

A solução no sentido LSQ é
(x,y)=(1,1)
Sim, essa solução também satisfaz todas as equações do sistema no sentido habitual.

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