O enunciado pede para resolver o sistema de inequações
x^2+x-2>0, 3x - x^2<0
Aqui o conteúdo é resolução de inequações quadráticas: vamos primeiro achar o conjunto‐solução de cada inequação usando fatoração e estudo de sinais, e depois intersectar esses conjuntos.
Passo 2
Vamos resolver a primeira inequação
x^2+x-2>0
Fatorando o polinômio, temos
x^2+x-2=(x+2)(x-1)
Como a parábola abre para cima, o produto será positivo quando x estiver fora do intervalo entre as raízes -2 e 1. Logo,
x^2+x-2>0Longrightarrow x< -2; ou ;x>1
Passo 3
Agora a segunda inequação
3x - x^2<0
pode ser reescrita como
-x^2+3x<0Longrightarrow x^2-3x>0
e fatorando
x(x-3)>0
Esse produto é positivo quando x<0 ou x>3.
Passo 4
Precisamos da interseção dos conjuntos
x< -2cupx>1 com x<0cupx>3
Analisando as combinações:
x< -2 e x<0 dá x< -2.
x< -2 e x>3 é impossível.
x>1 e x<0 é impossível.
x>1 e x>3 dá x>3.
Portanto a solução do sistema é
x< -2ou x>3
Resposta
(-infty,-2),cup,(3,infty)
Cálculo - Gelson Iezzi, Carlos Murakami - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 1: Conjuntos e Funções - 9ª Edição - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 316.a