RESOLVA POR TRANSFORMADAS DE LAPLACE
x \frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial w}{\partial t}=x t,
w(x, 0)=0 se x \geqq 0, w(0, t)=0 se t \geqq 0

Passo 1

O enunciado dá a PDE de primeira ordem
x\,\frac{\partial w}{\partial x} + \frac{\partial w}{\partial t} = x\,t,
com condições de contorno
w(x,0)=0,\quad x\ge0,
w(0,t)=0,\quad t\ge0.
O método pedido é usar a transformada de Laplace em t. Definimos
W(x,s)=\mathcal{L}\{w(x,t)\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}w(x,t)\,dt.

Passo 2

Aplicamos \mathcal{L} em t em cada termo da PDE. Temos
\mathcal{L}\{\partial w/\partial t\}=s\,W(x,s)-w(x,0)=s\,W(x,s)
pois w(x,0)=0. E
\mathcal{L}\{x\,\partial w/\partial x\}=x\,\partial W/\partial x.
Do lado direito,
\mathcal{L}\{x\,t\}=x\,\mathcal{L}\{t\}=x\cdot\dfrac{1}{s^{2}}.
Logo a PDE vira o ODE em x:
x\,\frac{\partial W}{\partial x} + s\,W = \frac{x}{s^{2}}.

Passo 3

Dividimos por x e escrevemos em forma linear:
\frac{\partial W}{\partial x} + \frac{s}{x}\,W = \frac{1}{s^{2}}.
O fator integrante é
\mu(x)=\exp\Bigl(\int \frac{s}{x}\,dx\Bigr)=x^{s}.
Multiplicando a equação por x^{s} e integrando em x:
\frac{d}{dx}\bigl(W\,x^{s}\bigr) = x^{s}\,\frac{1}{s^{2}} \quad\Longrightarrow\quad W\,x^{s}=\int \frac{x^{s}}{s^{2}}\,dx + C(s) =\frac{x^{s+1}}{s^{2}(s+1)} + C(s).
Logo
W(x,s)=\frac{x}{s^{2}(s+1)} + C(s)\,x^{-s}.
Da condição w(0,t)=0 segue W(0,s)=0. Como x^{-s}\to\infty em x\to0,
precisamos de C(s)=0. Assim
W(x,s)=\frac{x}{s^{2}(s+1)}.

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais:
\frac{1}{s^{2}(s+1)} =-\frac{1}{s}+\frac{1}{s^{2}}+\frac{1}{s+1}.
Então
W(x,s)=x\Bigl(-\frac{1}{s}+\frac{1}{s^{2}}+\frac{1}{s+1}\Bigr).
Invertendo em t:
\mathcal{L}^{-1}\{-1/s\}=-1,
\mathcal{L}^{-1}\{1/s^{2}\}=t,
\mathcal{L}^{-1}\{1/(s+1)\}=e^{-t}.
Logo
w(x,t)=x\bigl(-1 + t + e^{-t}\bigr) =x\bigl(t -1 + e^{-t}\bigr).

Resposta

w(x,t)=x\bigl(t -1 + e^{-t}\bigr).

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