RESOLVA POR TRANSFORMADAS DE LAPLACE
x \frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial w}{\partial t}=x t,
w(x, 0)=0 se x \geqq 0, w(0, t)=0 se t \geqq 0
x \frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial w}{\partial t}=x t,
w(x, 0)=0 se x \geqq 0, w(0, t)=0 se t \geqq 0
Passo 1
O enunciado dá a PDE de primeira ordem
com condições de contorno
O método pedido é usar a transformada de Laplace em
. Definimos
Passo 2
Aplicamos
em
em cada termo da PDE. Temos
pois . E
.
Do lado direito,
.
Logo a PDE vira o ODE em :
pois
Do lado direito,
Logo a PDE vira o ODE em
Passo 3
Dividimos por
e escrevemos em forma linear:
O fator integrante é
Multiplicando a equação por
e integrando em
:
Logo
Da condição
segue
. Como
em
,
precisamos de . Assim
precisamos de
Passo 4
Fazemos a decomposição em frações parciais:
Então
Invertendo em
:
,
,
.
Logo
Logo