Os restos das divisões dos inteiros 4933 e 4435 por um inteiro positivo n são respectivamente 37 e 19. Achar o inteiro n.

Passo 1

O enunciado diz que, ao dividir 4933 por n sobra 37 e, ao dividir 4435 por n sobra 19. O conteúdo aqui é congruência e divisibilidade: vamos transformar essas informações em condições de divisibilidade por n.

Passo 2

Como 4933 deixa resto 37 em divisão por n, temos
4933 = q1 n + 37
para algum inteiro q1. Logo
4933 - 37 = 4896
é múltiplo de n. De modo análogo,
4435 = q2 n + 19
implica
4435 - 19 = 4416
também múltiplo de n. Então
n mid 4896 e n mid 4416

Passo 3

Se n divide simultaneamente 4896 e 4416, então n divide o máximo divisor comum desses dois números:
gcd(4896,4416)
Usando a diferença,
4896 - 4416 = 480,
logo
gcd(4896,4416) = gcd(4416,480)
Como 4416 = 480 times 9 + 96, segue
gcd(4416,480) = gcd(480,96)
e como 480 = 96 times 5, obtemos
gcd(480,96) = 96

Passo 4

Portanto n é um divisor de 96. Além disso o resto 37 exige n>37 (e o resto 19 exige n>19, mas isso já está incluído em n>37). Precisamos dos divisores de 96 que sejam maiores que 37. Os divisores de 96 são
1,2,3,4,6,8,12,16,24,32,48,96,
deles somente 48 e 96 são maiores que 37.

Passo 5

Resta verificar que, para n=48 e para n=96, os restos realmente batem:
  • Para n=48: 4933 div 48 dá resto 37 e 4435 div 48 dá resto 19.
  • Para n=96: 4933 div 96 dá resto 37 e 4435 div 96 dá resto 19.

Resposta

Os possíveis valores de n são 48 e 96.

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