Numa reta , tomemos os segmentos e BC e um ponto P de modo que AB seja o quíntuplo de PC, BC seja o quádruplo de PC e AP=80 cm. Sendo M e N os pontos médios de AB e BC, respectivamente, determine MN .
Passo 1
O enunciado descreve uma reta r com os pontos A, B, C e P alinhados, satisfazendo
AB = 5cdot PC, BC = 4cdot PC,
e sabendo que AP=80 cm.
O conteúdo aqui é usar um sistema de coordenadas unidimensional para representar as distâncias e aplicar a fórmula do ponto médio.
Passo 2
Escolhemos uma origem de coordenadas em A, ou seja, xA=0. Seja p=PC. Então
xB = AB = 5p,
xC = xB + BC = 5p + 4p = 9p
Como PC=p, o ponto P fica a uma distância p de C no sentido de B, logo
xP = xC - p = 9p - p = 8p
Passo 3
Usamos AP=80 cm, ou seja,
AP = |xP - xA| = 8p = 80 Longrightarrow p = 10 cm
Passo 4
Com p=10 cm, as coordenadas são
xA=0, xB=5p=50, xC=9p=90, xP=8p=80
O ponto médio M de AB tem
xM = xA + xB2 = 0 + 502 = 25,
e o ponto médio N de BC tem
xN = xB + xC2 = 50 + 902 = 70
Passo 5
Finalmente,
MN = |xN - xM| = |70 - 25| = 45 cm
Resposta
45 cm
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 9: Geometria Plana - 9ª Edição - Capítulo 2.Exercícios - Ex. 22