Numa reta r, tomemos os segmentos AB e BC e um ponto P de modo que AB seja o quíntuplo de PC, BC seja o quádruplo de PC e AP=80 cm. Sendo M e N os pontos médios de AB e BC, respectivamente, determine MN .

Passo 1

O enunciado descreve uma reta r com os pontos A, B, C e P alinhados, satisfazendo
AB = 5cdot PC, BC = 4cdot PC,
e sabendo que AP=80 cm.
O conteúdo aqui é usar um sistema de coordenadas unidimensional para representar as distâncias e aplicar a fórmula do ponto médio.

Passo 2

Escolhemos uma origem de coordenadas em A, ou seja, xA=0. Seja p=PC. Então
xB = AB = 5p,
xC = xB + BC = 5p + 4p = 9p
Como PC=p, o ponto P fica a uma distância p de C no sentido de B, logo
xP = xC - p = 9p - p = 8p

Passo 3

Usamos AP=80 cm, ou seja,
AP = |xP - xA| = 8p = 80 Longrightarrow p = 10 cm

Passo 4

Com p=10 cm, as coordenadas são
xA=0, xB=5p=50, xC=9p=90, xP=8p=80
O ponto médio M de AB tem
xM = xA + xB2 = 0 + 502 = 25,
e o ponto médio N de BC tem
xN = xB + xC2 = 50 + 902 = 70

Passo 5

Finalmente,
MN = |xN - xM| = |70 - 25| = 45 cm

Resposta

45 cm

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