- Seja
um real dado, com
. Mostre que a série
é convergente. (Cuidado! Esta série não é alternada.)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série
é convergente, onde
.
O conteúdo-chave aqui é o desenvolvimento em série binomial para expoente real e o uso de continuação até o ponto .
O conteúdo-chave aqui é o desenvolvimento em série binomial para expoente real e o uso de continuação até o ponto
Passo 2
Observe que
logo o termo geral pode ser escrito como
Passo 3
Recordemos a expansão binomial para expoente real: para
vale
A série tem raio de convergência
, e por continuação (ou pelo Teorema de Abel) podemos avaliar o limite da soma quando
.
Passo 4
Para
a soma formal seria
onde usamos que
garante
. Portanto
Passo 5
Daí, separando o termo
nesta soma, obtemos
Multiplicando ambos os lados por
dá
o que prova não só a convergência, mas também que a soma vale
.
Resposta
A série converge (e soma exatamente
).