1. Seja \alpha um real dado, com 0<\alpha<1. Mostre que a série
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1} \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2) \ldots(\alpha-n+1)}{n!}
é convergente. (Cuidado! Esta série não é alternada.)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}
é convergente, onde 0<\alpha<1.
O conteúdo-chave aqui é o desenvolvimento em série binomial para expoente real e o uso de continuação até o ponto x=-1.

Passo 2

Observe que
\binom{\alpha}{n} \;=\;\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!},
logo o termo geral pode ser escrito como
a_n \;=\;(-1)^{n+1}\,\binom{\alpha}{n}.

Passo 3

Recordemos a expansão binomial para expoente real: para |x|<1 vale
(1+x)^{\alpha} \;=\;\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}\,x^n.
A série tem raio de convergência 1, e por continuação (ou pelo Teorema de Abel) podemos avaliar o limite da soma quando x\to -1^+.

Passo 4

Para x=-1 a soma formal seria
\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}(-1)^n \;=\;(1-1)^{\alpha} \;=\;0^{\alpha}=0,
onde usamos que \alpha>0 garante 0^{\alpha}=0. Portanto
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\binom{\alpha}{n}=0.

Passo 5

Daí, separando o termo n=0 nesta soma, obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\binom{\alpha}{n} \;=\;0 \;-\;\binom{\alpha}{0} \;=\;-1.
Multiplicando ambos os lados por -1
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\binom{\alpha}{n} \;=\;1,
o que prova não só a convergência, mas também que a soma vale 1.

Resposta

A série converge (e soma exatamente 1).

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