Seja n \in \mathbb{N} e considere o campo vetorial \vec{F}: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n} dado por
\vec{F}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\left(x_{1} \sqrt{x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}}, x_{2} \sqrt{x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}}, \cdots, x_{n} \sqrt{x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}}\right) .
\vec{F} é um campo conservativo? Em caso afirmativo, apresente sua função potencial.

Passo 1

O campo vetorial é
\vec F(x)=\bigl(x_{1}\,r,\;x_{2}\,r,\;\dots,\;x_{n}\,r\bigr),
onde definimos r=\sqrt{x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}}.
Queremos verificar se \vec F é conservativo (isto é, se existe \varphi tal que \nabla\varphi=\vec F) e, em caso afirmativo, encontrar essa função potencial \varphi.

Passo 2

Observação: \vec F é radial, pois aponta na direção de \vec x=(x_{1},\dots,x_{n}) com módulo \|\vec x\|=r. Para um potencial radial \varphi(x)=\varphi(r), temos a fórmula
\nabla\varphi(x) =\varphi'(r)\,\nabla r =\varphi'(r)\,\frac{\vec x}{r}.
Queremos que isso seja igual a \vec F(x)=r\,\vec x. Logo comparamos
\varphi'(r)\,\frac{\vec x}{r}=r\,\vec x \;\Longrightarrow\; \varphi'(r)=r^{2}.

Passo 3

Integramos \varphi'(r)=r^{2} em relação a r:
\varphi(r) =\int r^{2}\,dr =\tfrac{r^{3}}{3}+C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 4

Voltando à variável original, r=\sqrt{x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}}, obtemos
\varphi(x) =\frac{1}{3}\bigl(x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}\bigr)^{3/2}+C.
Para conferir, calculemos
\frac{\partial\varphi}{\partial x_{i}} =\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}\bigl(x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}\bigr)^{1/2}\cdot2x_{i} =x_{i}\,\sqrt{x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}}
que é exatamente F_{i}(x). Portanto \nabla\varphi=\vec F.

Resposta

Sim, \vec F é conservativo. Uma função potencial é
\varphi(x_{1},\dots,x_{n}) =\frac{1}{3}\bigl(x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}\bigr)^{3/2}+C.

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