Seja
uma função contínua. Mostre que a forma diferencial
é exata no aberto
, em que
.
Passo 1
O enunciado define a função contínua
e a forma diferencial
no aberto
. Queremos mostrar que
é exata em
, usando o critério
num domínio simplesmente conexo.
Passo 2
Defina
Note que
é aberto e simplesmente conexo (é um semiplano), e
são
em
pois
é contínua.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais:
Como
, a forma
é fechada em
.
Passo 4
Num domínio simplesmente conexo, toda forma
fechada é exata. Logo
é exata em
; existe
tal que
.
Passo 5
Para obter
, integramos
em
:
Depois exigimos
de onde
e
Portanto
é potencial de
.
Resposta
A forma diferencial
é exata em
. Um potencial é