Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função contínua. Mostre que a forma diferencial
x y d x+\left(\frac{x^{2}}{2}+f(y)\right) d y
é exata no aberto \Omega_{a}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; y>a\right\}, em que a \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado define a função contínua f\colon\mathbb R\to\mathbb R e a forma diferencial
\omega = x\,y\,dx \;+\;\Bigl(\tfrac{x^{2}}{2}+f(y)\Bigr)\,dy
no aberto \Omega_{a}=\{(x,y)\in\mathbb R^{2}:y>a\}. Queremos mostrar que \omega é exata em \Omega_{a}, usando o critério
\partial P/\partial y=\partial Q/\partial x num domínio simplesmente conexo.

Passo 2

Defina
P(x,y)=x\,y, \qquad Q(x,y)=\tfrac{x^{2}}{2}+f(y).
Note que \Omega_{a} é aberto e simplesmente conexo (é um semiplano), e P,Q são C^1 em \Omega_{a} pois f é contínua.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(x\,y)=x, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\tfrac{x^{2}}{2}+f(y)\Bigr)=x.
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x, a forma \omega é fechada em \Omega_{a}.

Passo 4

Num domínio simplesmente conexo, toda forma C^1 fechada é exata. Logo \omega é exata em \Omega_{a}; existe \Phi(x,y) tal que d\Phi=\omega.

Passo 5

Para obter \Phi, integramos P em x:
\Phi(x,y)=\int x\,y\,dx=\tfrac{x^{2}y}{2}+C(y).
Depois exigimos
\frac{\partial\Phi}{\partial y} =\tfrac{x^{2}}{2}+C'(y) \;\stackrel!=\; Q(x,y)=\tfrac{x^{2}}{2}+f(y),
de onde C'(y)=f(y) e
C(y)=\int_{y_{0}}^{y}f(s)\,ds \quad(y_{0}>a\text{ fixo}).
Portanto
\Phi(x,y) =\frac{x^{2}y}{2}+\int_{y_{0}}^{y}f(s)\,ds
é potencial de \omega.

Resposta

A forma diferencial
x\,y\,dx+\Bigl(\tfrac{x^{2}}{2}+f(y)\Bigr)\,dy
é exata em \Omega_{a}. Um potencial é
\Phi(x,y)=\frac{x^{2}y}{2}+\int_{y_{0}}^{y}f(s)\,ds,\quad y_{0}>a.

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