Seja n um número natural livre de quadrados ( n não é divisível por nenhum quadrado perfeito). Se r é o número de fatores primos de n, mostre que tau(n)=2^x.
Resoluçāo: Sendo n livre de quadrados e sendo p1, ldots, pr seus fatores primos, então n=p1 p2 ldots pr. Logo, t(n)=(1+1)(1+1) ldots ldots(1+1)=2^r.

Passo 1

O enunciado diz que n é um inteiro natural livre de quadrados, isto é, na fatoração prima de n cada primo aparece com expoente 1. Sejam p1,p2,dots,pr os r fatores primos distintos de n. O objetivo é mostrar que o número de divisores de n, denotado por tau(n), vale 2^r. Para isso, vamos usar a fórmula geral de tau em função dos expoentes na fatoração de um número.

Passo 2

Escrevemos a fatoração prima de n. Como n é livre de quadrados, cada expoente é 1. Logo,
n ;=; p1^1,p2^1,cdots,pr^1

Passo 3

Recordamos a fórmula do número de divisores para uma fatoração
n = prodi=1^r pi^alphai
é
tau(n) ;=;prodi=1^r(alphai+1)

Passo 4

No nosso caso, todos os expoentes alphai valem 1. Então cada fator alphai+1 vale 1+1=2. Portanto
tau(n) ;=;(1+1),(1+1),cdots,(1+1)
com r fatores iguais a 2.

Passo 5

Multiplicando r cópias de 2, obtemos
tau(n) ;=;2^r

Resposta

tau(n)=2^r.

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