Seja
um número natural livre de quadrados (
não é divisível por nenhum quadrado perfeito). Se r é o número de fatores primos de n, mostre que
.
Resoluçāo: Sendo n livre de quadrados e sendo
seus fatores primos, então
. Logo,
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um inteiro natural livre de quadrados, isto é, na fatoração prima de
cada primo aparece com expoente
. Sejam
os
fatores primos distintos de
. O objetivo é mostrar que o número de divisores de
, denotado por
, vale
. Para isso, vamos usar a fórmula geral de
em função dos expoentes na fatoração de um número.
Passo 2
Escrevemos a fatoração prima de
. Como
é livre de quadrados, cada expoente é
. Logo,
Passo 3
Recordamos a fórmula do número de divisores para uma fatoração
é
Passo 4
No nosso caso, todos os expoentes
valem
. Então cada fator
vale
. Portanto
com
fatores iguais a 2.
Passo 5
Multiplicando
cópias de 2, obtemos