Seja n=2^k-1(2^k-1) um número perfeito par. Demonstrar que o produto dos divisores positivos de né igual a n^k.

Passo 1

O enunciado dá um número perfeito par da forma
n = 2^k-1l(2^k - 1r),
onde ,2^k-1 é primo. Queremos mostrar que o produto de todos os divisores positivos de n é igual a n^k. Para isso, vamos usar a fatoração de n e a contagem/expressionamento dos divisores, além da soma de uma progressão aritmética para somar expoentes.

Passo 2

Como ,2^k-1 é primo, a fatoração de n tem exatamente dois fatores primos distintos: 2 com expoente k-1 e 2^k-1 com expoente 1. Logo, qualquer divisor de n é da forma
2^iou 2^il(2^k-1r),
com i=0,1,2,dots,k-1. Assim há k divisores do tipo 2^i e k do tipo 2^i(2^k-1), totalizando 2k divisores.

Passo 3

Denotemos por P o produto de todos os divisores de n. Podemos separar em dois subprodutos:
P1 = prodi=0^k-12^i, P2 = prodi=0^k-12^il(2^k-1r)
Então
P = P1 cdot P2 = l(prodi=0^k-12^ir);l(prodi=0^k-12^ir);(2^k-1)^k = l(P1r)^2,(2^k-1)^k

Passo 4

Calculemos ,P1. Como
P1 = 2^0cdot 2^1cdot 2^2cdots 2^k-1 = 2^0+1+2+cdots+(k-1)
e a soma dos primeiros k inteiros não negativos é
0+1+2+cdots+(k-1) = k(k-1)2,
segue
P1 = 2^k(k-1)2 Longrightarrow l(P1r)^2 = 2^k(k-1)

Passo 5

Substituindo em P:
P = 2^k(k-1),(2^k-1)^k
Agora note que
2^k(k-1) = l(2^k-1r)^k e (2^k-1)^k = l(2^k-1r)^k,
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P = l(2^k-1r)^k ,l(2^k-1r)^k = l[,2^k-1(2^k-1)r]^k = n^k

Resposta

O produto dos divisores positivos de n é n^k.

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