Seja
um número perfeito par. Demonstrar que o produto dos divisores positivos de né igual a
.
Passo 1
O enunciado dá um número perfeito par da forma
onde
é primo. Queremos mostrar que o produto de todos os divisores positivos de
é igual a
. Para isso, vamos usar a fatoração de
e a contagem/expressionamento dos divisores, além da soma de uma progressão aritmética para somar expoentes.
Passo 2
Como
é primo, a fatoração de
tem exatamente dois fatores primos distintos:
com expoente
e
com expoente
. Logo, qualquer divisor de
é da forma
com
. Assim há
divisores do tipo
e
do tipo
, totalizando
divisores.
Passo 3
Denotemos por
o produto de todos os divisores de
. Podemos separar em dois subprodutos:
Então
Passo 4
Calculemos
. Como
e a soma dos primeiros
inteiros não negativos é
segue
Passo 5
Substituindo em
:
Agora note que
logo
Resposta
O produto dos divisores positivos de
é
.