Seja
o número de pessoas numa comunidade com população total
que ouviram um certo boato
dias depois de o mesmo ter sido lançado. O senso comum sugere que a taxa de crescimento de
, isto é, a velocidade com que esse boato se propaga pela comunidade, é proporcional à freqüência de contato entre aqueles que ouviram o boato e aqueles que não o ouviram, e essa freqüência, por sua vez, é conjuntamente proporcional ao número de pessoas que já ouviram o boato e o número de pessoas que não o ouviram. Isto nos leva à equação diferencial
onde
é uma constante que expressa o nível de atividadde social. Se o boato é inicialmente divulgado por
indivíduos (
quando
), determine
como função de
. Use essa função para mostrar que
quando
. Esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial logística
com condição inicial
.
Conteúdo: equação de crescimento logístico; método de separação de variáveis e integração por frações parciais.
Conteúdo: equação de crescimento logístico; método de separação de variáveis e integração por frações parciais.
Passo 2
Separamos variáveis:
Usamos frações parciais em :
Logo
Então a integral da EDO é
Passo 3
Em
,
, logo
Substituindo em cima e isolando o logaritmo, temos
Resolvendo para
,
Passo 4
Isolando
resulta
Para
, o termo
e portanto
Passo 5
O gráfico de
é uma curva em “S”: começa em
, cresce de modo quase exponencial para depois desacelerar, aproximando-se horizontalmente de
. Há ponto de inflexão em
.
Resposta
que satisfaz