Seja x o número de pessoas numa comunidade com população total x1 que ouviram um certo boato t dias depois de o mesmo ter sido lançado. O senso comum sugere que a taxa de crescimento de x, isto é, a velocidade com que esse boato se propaga pela comunidade, é proporcional à freqüência de contato entre aqueles que ouviram o boato e aqueles que não o ouviram, e essa freqüência, por sua vez, é conjuntamente proporcional ao número de pessoas que já ouviram o boato e o número de pessoas que não o ouviram. Isto nos leva à equação diferencial
d xd t=c x(x1-x),
onde c é uma constante que expressa o nível de atividadde social. Se o boato é inicialmente divulgado por x0 indivíduos ( x=x0 quando t=0 ), determine x como função de t. Use essa função para mostrar que x x1 quando t infty. Esboce o gráfico.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial logística
dxdt=c,xl(x1-xr),
com condição inicial x(0)=x0.
Conteúdo: equação de crescimento logístico; método de separação de variáveis e integração por frações parciais.

Passo 2

Separamos variáveis:
Usamos frações parciais em :
Logo
Então a integral da EDO é

Passo 3

Em t=0, x=x0, logo
1x1lnx0x1-x0=K
Substituindo em cima e isolando o logaritmo, temos
lnxx1-x -lnx0x1-x0 =c,x1,t Longrightarrow xx1-x =x0x1-x0,e^c,x1t
Resolvendo para x,
x =l(x1-xr),x0x1-x0,e^c,x1t ;Longrightarrow; xl(1+x0x1-x0,e^c,x1tr) =x1,x0x1-x0,e^c,x1t

Passo 4

Isolando x resulta
x(t) =x11+x1-x0x0,e^-c,x1t =x11+l(x1x0-1r)e^-c,x1t
Para ttoinfty, o termo e^-c,x1tto0 e portanto
limttoinftyx(t)=x11+0=x1

Passo 5

O gráfico de x(t) é uma curva em “S”: começa em x0, cresce de modo quase exponencial para depois desacelerar, aproximando-se horizontalmente de x=x1. Há ponto de inflexão em x=x1/2.

Resposta

x(t) =x11+l(x1x0-1r)e^-c,x1t,
que satisfaz limttoinftyx(t)=x1

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