Seja a uma raiz primitiva de n. Se k>0 e se mdc (k, varphi(n))=1, prove que a^k tambérn é raiz primitiva de n.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se a é uma raiz primitiva de n (isto é, a ordem de a no grupo (Z/nZ)^times é varphi(n)) e k>0 satisfaz gcdl(k,varphi(n)r)=1, então a^k também tem ordem varphi(n) e, portanto, é raiz primitiva de n. Vamos usar a teoria de grupos cíclicos e propriedades de ordem de elemento.

Passo 2

Como a é raiz primitiva de n, temos por definição
ordn(a)=varphi(n),
isto é, varphi(n) é o menor inteiro positivo tal que
a^varphi(n)equiv1pmod n
Em qualquer grupo finito, a ordem de um elemento divide a ordem do grupo, logo toda ordem de elemento divide varphi(n).

Passo 3

Defina
d ;=;ordnl(a^kr),
isto é, d é o menor inteiro positivo tal que
(a^k)^dequiv1pmod n
Isso implica
a^kdequiv1pmod n
Como ordn(a)=varphi(n), concluímos que
varphi(n),m|;kd
Mas, por hipótese, gcdl(k,varphi(n)r)=1. Da divisibilidade acima segue que varphi(n) divide d:
varphi(n),m|;d
Por outro lado, pela propriedade geral de grupos finitos temos d<=varphi(n). Assim
d=varphi(n)

Resposta

Como ordn(a^k)=d=varphi(n), segue que a^k é raiz primitiva de n.

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