Seja a uma raiz primitiva de . Se e se mdc , prove que tambérn é raiz primitiva de .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se é uma raiz primitiva de (isto é, a ordem de no grupo é ) e satisfaz , então também tem ordem e, portanto, é raiz primitiva de . Vamos usar a teoria de grupos cíclicos e propriedades de ordem de elemento.
Passo 2
Como é raiz primitiva de , temos por definição
isto é, é o menor inteiro positivo tal que
Em qualquer grupo finito, a ordem de um elemento divide a ordem do grupo, logo toda ordem de elemento divide .
Passo 3
Defina
isto é, é o menor inteiro positivo tal que
Isso implica
Como , concluímos que
Mas, por hipótese, gcdl(k,varphi(n)r)=1. Da divisibilidade acima segue que varphi(n) divide d:
varphi(n),m|;d
Por outro lado, pela propriedade geral de grupos finitos temos d<=varphi(n). Assim
d=varphi(n)
Resposta
Como ordn(a^k)=d=varphi(n), segue que a^k é raiz primitiva de n.
Cálculo - Hygino Domingues - Fundamentos de Aritmética - 1ª Edição - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 350