1. Seja R a relação que consiste em todos os pares (x, y) tal que x e y são seqüências de letras maiúsculas e minúsculas da língua inglesa com a propriedade que, para todo inteiro positivo n, o enésimo caractere em x e y é a mesma letra, ou minúscula ou maiúscula. Mostre que R é uma relação de equivalência.

Passo 1

O enunciado define uma relação R sobre o conjunto S de todas as sequências (infinitas) de letras inglesas maiúsculas e minúsculas. Para x=(x_n)\in S e y=(y_n)\in S, temos
(x,y)\in R \iff \forall n\in\mathbb{N},\;x_n\text{ e }y_n\text{ são a mesma letra, ignorando se são maiúsculas ou minúsculas}.ããúú
O objetivo é mostrar que R é uma relação de equivalência, ou seja, que é reflexiva, simétrica e transitiva.

Passo 2

Mostramos que R é reflexiva, isto é,
\forall x\in S,\;(x,x)\in R.
De fato, para qualquer sequência x=(x_n) e qualquer n, temos x_n comparado a si mesmo, portanto são a mesma letra ignorando o caso. Logo (x,x)\in R e R é reflexiva.

Passo 3

Mostramos que R é simétrica, ou seja,
(x,y)\in R \implies (y,x)\in R.
Suponha (x,y)\in R. Então
\forall n,\;x_n\text{ e }y_n\text{ coincidem ignorando maiúsculas/minúsculas}.úú
Mas isso é claramente uma relação simétrica: se x_n e y_n coincidem ignorando caso, então y_n e x_n também coincidem. Logo (y,x)\in R e R é simétrica.

Passo 4

Mostramos que R é transitiva, isto é,
(x,y)\in R\\ \wedge\\ (y,z)\in R \implies (x,z)\in R.
Suponha (x,y)\in R e (y,z)\in R. Então para todo n vale simultaneamente
  1. x_n e y_n coincidem ignorando caso,
  2. y_n e z_n coincidem ignorando caso.
    Como “coincidir ignorando caso” é transitivo sobre três letras, concluímos que x_n e z_n coincidem, \forall n. Logo (x,z)\in R e R é transitiva.

Resposta

Concluímos que R é reflexiva, simétrica e transitiva, portanto é uma relação de equivalência em S.

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