Seja R a relação no conjunto de todos os conjuntos de números reais tal que S R T se e somente se S e T tiverem a mesma cardinalidade. Mostre que R é uma relação de equivalência. Quais são as classes de equivalência dos conjuntos \{0,1,2\} e \mathbf{Z} ?

Passo 1

O enunciado define uma relação R no conjunto \mathcal{P}(\mathbb{R}) (isto é, em todos os subconjuntos de \mathbb{R}) por
S\,R\,T\quad\Longleftrightarrow\quad |S| = |T|,
onde |S| denota a cardinalidade de S. Queremos mostrar que R é uma relação de equivalência (reflexiva, simétrica e transitiva) e, em seguida, descrever as classes de equivalência de \{0,1,2\} e de \mathbb{Z}.

Passo 2

Mostramos que R é reflexiva. Para todo subconjunto S\subseteq\mathbb{R}, claramente existe a bijeção identidade \mathrm{id}_S\colon S\to S. Logo
|S| = |S|,
isto é,
S\,R\,S.

Passo 3

Mostramos que R é simétrica. Suponha S\,R\,T. Então |S|=|T|, ou seja, existe bijeção
f\colon S \to T.
Como toda bijeção tem inversa, f^{-1}\colon T\to S também é bijetora. Logo
|T| = |S|,
isto é,
T\,R\,S.

Passo 4

Mostramos que R é transitiva. Suponha S\,R\,T e T\,R\,U. Então existem bijeções
f\colon S\to T \quad\text{e}\quad g\colon T\to U.
A composição g\circ f\colon S\to U é bijetora, pois composição de bijeções é bijeção. Logo
|S| = |U|,
isto é,
S\,R\,U.

Passo 5

Concluímos que R é reflexiva, simétrica e transitiva, logo é uma relação de equivalência. As classes de equivalência são
[S] \;=\;\{\,T\subseteq\mathbb{R} \mid |T| = |S|\,\}.

Passo 6

Em particular:
  • A classe de equivalência de \{0,1,2\} é
\bigl[\{0,1,2\}\bigr] =\{\,T\subseteq\mathbb{R}\mid |T|=3\},
ou seja, todos os subconjuntos de \mathbb{R} com exatamente três elementos.
  • A classe de equivalência de \mathbb{Z} é
[\mathbb{Z}] =\{\,T\subseteq\mathbb{R}\mid |T|=|\mathbb{Z}|\},
isto é, todos os subconjuntos enumeráveis (countable) de \mathbb{R}.

Resposta

A relação R é de equivalência. \bigl[\{0,1,2\}\bigr]=\{\,T\subseteq\mathbb{R}\mid |T|=3\}. [\mathbb{Z}]=\{\,T\subseteq\mathbb{R}\mid |T|=|\mathbb{Z}|\}.

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