Seja
a relação no conjunto de todos os conjuntos de números reais tal que
se e somente se
e
tiverem a mesma cardinalidade. Mostre que
é uma relação de equivalência. Quais são as classes de equivalência dos conjuntos
e
?
Passo 1
O enunciado define uma relação
no conjunto
(isto é, em todos os subconjuntos de
) por
onde
denota a cardinalidade de
. Queremos mostrar que
é uma relação de equivalência (reflexiva, simétrica e transitiva) e, em seguida, descrever as classes de equivalência de
e de
.
Passo 2
Mostramos que
é reflexiva. Para todo subconjunto
, claramente existe a bijeção identidade
. Logo
isto é,
Passo 3
Mostramos que
é simétrica. Suponha
. Então
, ou seja, existe bijeção
Como toda bijeção tem inversa,
também é bijetora. Logo
isto é,
Passo 4
Mostramos que
é transitiva. Suponha
e
. Então existem bijeções
A composição
é bijetora, pois composição de bijeções é bijeção. Logo
isto é,
Passo 5
Concluímos que
é reflexiva, simétrica e transitiva, logo é uma relação de equivalência. As classes de equivalência são
Passo 6
Em particular:
- A classe de equivalência de
é
ou seja, todos os subconjuntos de
com exatamente três elementos.
- A classe de equivalência de
é
isto é, todos os subconjuntos enumeráveis (countable) de
.
Resposta
A relação
é de equivalência.
.
.