Seja a um resto quadrático de um primo ímpar p. Mostre que a nào é raiz primitiva de
.
Passo 1
O enunciado diz: seja
um primo ímpar e
um resto quadrático módulo
. Queremos mostrar que
não pode ser raiz primitiva de
. Para isso usaremos a definição de ordem de um elemento em
e o Pequeno Teorema de Fermat.
Passo 2
Por definição de resto quadrático, existe um inteiro
tal que
Passo 3
Pelo Pequeno Teorema de Fermat, temos
Elevando a congruência
à potência
, obtemos
Passo 4
O fato de
implica que a ordem de
em
divide
. Como
, concluímos que a ordem de
é estritamente menor que
. Assim,
não gera todo o grupo
e, portanto, não é raiz primitiva de
.