Seja a um resto quadrático de um primo ímpar p. Mostre que a nào é raiz primitiva de p.

Passo 1

O enunciado diz: seja p um primo ímpar e a um resto quadrático módulo p. Queremos mostrar que a não pode ser raiz primitiva de p. Para isso usaremos a definição de ordem de um elemento em Zp^* e o Pequeno Teorema de Fermat.

Passo 2

Por definição de resto quadrático, existe um inteiro x tal que
a equiv x^2 pmod p

Passo 3

Pelo Pequeno Teorema de Fermat, temos
x^p-1 equiv 1 pmod p
Elevando a congruência aequiv x^2 à potência p-12, obtemos
a^p-12 ;equiv; l(x^2r)^p-12 ;=; x^p-1 ;equiv; 1 pmod p

Passo 4

O fato de a^p-12equiv1pmod p implica que a ordem de a em Zp^* divide tfracp-12. Como tfracp-12<p-1, concluímos que a ordem de a é estritamente menor que p-1. Assim, a não gera todo o grupo Zp^* e, portanto, não é raiz primitiva de p.

Resposta

a não é raiz primitiva de p.

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