Seja n um número natural par tal que varphi(n)=n2. Prove que n=2^r, para algum r >= 1.
Resolução: Podemos escrever n=2^r cdot q, onde r >= 1 e q é o produto dos fatores primos de n, distintos de 2 . Então mdc (2^r, q)=1 e portanto varphi(n)=varphi(2^r) varphi(q)=2^r-1 varphi(q). Mas por hipótese varphi(n)=n2=2^r-1 cdot q. Logo 2^r-1 varphi(q)=2^r-1 cdot q, o que implica varphi(q)=q. Mas isso só é possível para q=1 (justifique). Logo n=2^x.

Passo 1

O enunciado diz que n é um número natural par tal que
varphi(n)=n2
O conteúdo que vamos usar é a fatoração em primos de n, a propriedade multiplicativa da função totiente de Euler e o fato de que, para qualquer inteiro m>1, varphi(m)<m.

Passo 2

Como n é par, podemos escrever
n = 2^r,q,
onde r>=1 e q é ímpar (produto de primos distintos de 2). Como gcd(2^r,q)=1, a função totiente satisfaz
varphi(n)=varphi(2^r),varphi(q)
Sabemos ainda que
varphi(2^r)=2^r-2^r-1=2^r-1
Logo
varphi(n)=2^r-1,varphi(q)

Passo 3

Pela hipótese varphi(n)=tfracn2, obtemos
2^r-1,varphi(q) =n2 =2^rq2 =2^r-1,q
Cancelando 2^r-1 (que é não nulo), segue
varphi(q)=q
Mas, para todo inteiro m>1 com pelo menos um divisor primo p, tem– se
varphi(m)=mprodpmid ml(1-tfrac1pr)<m
Portanto a única forma de varphi(q)=q ocorrer é se q=1.

Passo 4

Como q=1, concluímos
n=2^rcdot1=2^r,
com r>=1, exatamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

n=2^r para algum inteiro r>=1.

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