Seja
um número natural par tal que
. Prove que
, para algum
.
Resolução: Podemos escrever
, onde
e q é o produto dos fatores primos de
, distintos de 2 . Então mdc
e portanto
. Mas por hipótese
. Logo
, o que implica
. Mas isso só é possível para
(justifique). Logo
.
Resolução: Podemos escrever
Passo 1
O enunciado diz que
é um número natural par tal que
O conteúdo que vamos usar é a fatoração em primos de
, a propriedade multiplicativa da função totiente de Euler e o fato de que, para qualquer inteiro
,
.
Passo 2
Como
é par, podemos escrever
onde
e
é ímpar (produto de primos distintos de
). Como
, a função totiente satisfaz
Sabemos ainda que
Logo
Passo 3
Pela hipótese
, obtemos
Cancelando
(que é não nulo), segue
Mas, para todo inteiro
com pelo menos um divisor primo
, tem– se
Portanto a única forma de
ocorrer é se
.
Passo 4
Como
, concluímos
com
, exatamente o que queríamos demonstrar.