Sejam as funções definidas por f(x)=raizx e g(x)=x^2-3 x-4. Determine os domínios das funções f circ g e g circ f.

Solução

a) (f circ g)(x)=f(g(x))=raizg(x)=raizx^2-3 x-4
Para que exista (f circ g)(x) in R, devemos ter x^2-3 x-4 >= 0, isto é:
x <=-1 ou x >= 4. Então:
D(f circ g)=x in R mid x <=-1 ou x >= 4
b) (g circ f)(x)=g(f(x))=[f(x)]^2-3 cdot f(x)-4=|x|-3 raizx-4
Para que exista (g circ f)(x) in R, devemos ter x >= 0. Então:
D(g circ f)=x in R mid x >= 0

Passo 1

O enunciado define
f(x)=raizx e g(x)=x^2-3x-4,
e pede os domínios de (fcirc g)(x) e (gcirc f)(x).
Para isso usaremos que, ao compor, o argumento de raizcdot deve ser não-negativo e que raizx está definido apenas para x>=0.

Passo 2

Determinar D(fcirc g).
Escrevemos
(fcirc g)(x)=fl(g(x)r)=raiz,g(x),=raizx^2-3x-4
Para existir esse valor em R, precisamos de
x^2-3x-4>=0
Calculamos o discriminante:
De<a = (-3)^2-4cdot1cdot(-4)=9+16=25,
e as raízes
x=3pm52;Longrightarrow;x=-1ou x=4
Como o coeficiente de x^2 é positivo, a desigualdade x^2-3x-4>=0 vale para
xin(-infty,-1];cup;[4,infty)

Passo 3

Logo
D(fcirc g)=(-infty,-1];cup;[4,infty)

Passo 4

Determinar D(gcirc f).
Escrevemos
(gcirc f)(x)=gl(f(x)r)=l(raizxr)^2-3raizx-4 =x-3raizx-4
Aqui o único requisito é que raizx esteja definido, ou seja,
x>=0

Passo 5

Portanto
D(gcirc f)=[0,infty)

Resposta

D(fcirc g)=(-infty,-1]cup[4,infty)
D(gcirc f)=[0,infty)

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