Sejam
A=x in R mid-3 <= x<1 B=[-1 ; 2[ C=]-2 ; 54[
Determine:
a) [A cap B cap C]
b) [(A-B) cup C]
e) [(A cap B)-C]
d) B cap C

Passo 1

O enunciado define três intervalos em R:
A = [-3,1), B = [-1,2), C = (-2,tfrac54)
e pede várias operações de teoria de conjuntos (interseção, diferença e união). Vamos usar que, para intervalos, a interseção leva o maior dos limites inferiores e o menor dos limites superiores, a diferença retira todos os pontos comuns ao segundo conjunto, e a união une os elementos cobrindo todos os trechos sem buracos.

Passo 2

Calcular Acap Bcap C.
– Limite inferior: max(-3,-1,-2)=-1. Verificamos que -1 pertence a todos os três intervalos, pois -1>=-3, -1>=-1 e -1>-2. Logo, fechamos em -1.
– Limite superior: min(1,2,tfrac54)=1. Em A já é aberto em 1, então permanece aberto.
Portanto
Acap Bcap C = [-1,1)

Passo 3

Calcular (A - B)cup C.
  1. Primeiro A - B = Asetminus B. Como
A = [-3,1), B=[-1,2),
a parte de A que fica fora de B é [-3,-1).
2. Agora (A-B)cup C = [-3,-1);cup;(-2,tfrac54).
– O trecho [-3,-1) vai de -3 a -1 e já inclui o ponto -2.
– O trecho ( -2,tfrac54 ) começa antes de -1 e vai até 1,25.
Não há buraco, pois -2 está em [-3,-1) e o conjunto se estende até 5/4 pela união.
Logo
(A-B)cup C = [-3,tfrac54)

Passo 4

Calcular (Acap B)-C.
– Primeiro Acap B = [-1,1).
– Como C=(-2,tfrac54) contém todo o intervalo [-1,1), ao subtrairmos C não sobra nenhum ponto.
Logo
(Acap B)-C = emptyset

Passo 5

Calcular Bcap C.
– Limite inferior: max(-1,-2)=-1, e -1 está em ambos, pois -1>=-1 e -1>-2.
– Limite superior: min(2,tfrac54)=tfrac54. Em C é aberto, então permanece aberto.
Portanto
Bcap C = [-1,tfrac54)

Resposta

a) [-1,1)
b) [-3,tfrac54)
c) emptyset
d) [-1,tfrac54)

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