Sejam os vértices de um paralelepípedo no espaço cujas faces são os paralelogramos , etc. Sejam ainda . Expressar os vetores A C, A F, A G, F G, E G em termos de b, e, d.
Passo 1
O enunciado descreve um paralelepípedo cujos vértices partem de A e dos vetores de aresta b=AB, d=AD e e=AE.
O que precisamos é usar a propriedade de paralelogramo: num paralelogramo, a diagonal é a soma dos vetores que formam os lados adjacentes.
Passo 2
Vamos introduzir convenientemente as posições dos outros vértices em relação a A:
B = A + b
D = A + d
E = A + e
Passo 3
Agora, usando que ABCD é paralelogramo, o vértice C satisfaz
AC = AB + AD
logo
AC = b + d
Passo 4
Como ABFE é paralelogramo, o vértice F satisfaz
AF = AB + AE
portanto
AF = b + e
Passo 5
O vértice oposto G ao A no paralelepípedo é a soma dos três aresta, ou seja
AG = AB + AD + AE
e então
AG = b + d + e
Passo 6
Para FG, note que
FG = AG - AF
substituindo do passo anterior,
FG = (b + d + e) - (b + e) = d
Passo 7
Semelhantemente,
EG = AG - AE = (b + d + e) - e = b + d
Resposta
AC = b + d, AF = b + e, AG = b + d + e,
FG = d, EG = b + d
Cálculo - Wilfred Kaplan - Cálculo Avançado - Vol 1 - 1ª Edição - Capítulo 1.1.3 - Ex. 3