Sejam A, B, C, D, E, F, G, H os vértices de um paralelepípedo no espaço cujas faces são os paralelogramos A B C D, A B F E, A E H D, etc. Sejam ainda b=A B, e=A E, d=A D. Expressar os vetores A C, A F, A G, F G, E G em termos de b, e, d.

Passo 1

O enunciado descreve um paralelepípedo cujos vértices partem de A e dos vetores de aresta
b=AB, d=AD e e=AE.
O que precisamos é usar a propriedade de paralelogramo: num paralelogramo, a diagonal é a soma dos vetores que formam os lados adjacentes.

Passo 2

Vamos introduzir convenientemente as posições dos outros vértices em relação a A:
  • B = A + b
  • D = A + d
  • E = A + e

Passo 3

Agora, usando que ABCD é paralelogramo, o vértice C satisfaz
AC = AB + AD
logo
AC = b + d

Passo 4

Como ABFE é paralelogramo, o vértice F satisfaz
AF = AB + AE
portanto
AF = b + e

Passo 5

O vértice oposto G ao A no paralelepípedo é a soma dos três aresta, ou seja
AG = AB + AD + AE
e então
AG = b + d + e

Passo 6

Para FG, note que
FG = AG - AF
substituindo do passo anterior,
FG = (b + d + e) - (b + e) = d

Passo 7

Semelhantemente,
EG = AG - AE = (b + d + e) - e = b + d

Resposta

AC = b + d, AF = b + e, AG = b + d + e,
FG = d, EG = b + d

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