Sendo
e
dois números inteiros, responda:
a)
e
podem ser disjuntos?
b) Que nome se dá a um inteiro
tal que
?
c) Quando
, qual é a relação existente entre a e
?
d) Em que caso ocorre
?
e) Em que caso ocorre
?
f) Que nome se dá a um inteiro
tal que
?
a)
b) Que nome se dá a um inteiro
c) Quando
d) Em que caso ocorre
e) Em que caso ocorre
f) Que nome se dá a um inteiro
Passo 1
O enunciado considera dois inteiros
e
, define
como o conjunto de todos os divisores de
e
como o conjunto de todos os múltiplos de
. As perguntas envolvem entender quando esses conjuntos se intersectam, contêm-se mutuamente ou coincidem com conjuntos de divisores ou múltiplos de outros inteiros. Para resolver, usaremos conceitos de divisibilidade, máximo divisor comum (mdc), coprimalidade e mínimo múltiplo comum (mmc).
Passo 2
a) Dois conjuntos
e
seriam disjuntos se não tivessem nenhum elemento em comum, mas como
divide qualquer inteiro, temos
Logo, não podem ser disjuntos.
Passo 3
b) Em geral, a interseção dos conjuntos de divisores satisfaz
Portanto, o inteiro
pedido é o máximo divisor comum de
e
.
Passo 4
c) Se
então
. Nesse caso, dizemos que
e
são coprimos (ou relativamente primos).
Passo 5
d) Para os múltiplos, temos
. Logo
se e somente se todo múltiplo de
for também múltiplo de
, o que equivale a
Passo 6
e) De modo geral,
Para que este conjunto seja exatamente
, é necessário que
, ou seja,
. Em suma,
quando
e
são coprimos.
Passo 7
f) Analogamente ao caso dos divisores, o inteiro
que satisfaz
é o mínimo múltiplo comum de
e
.
Resposta
a) Não, pois
e
pertencem a ambos os conjuntos.
b) Máximo divisor comum .
c) e
são coprimos (
).
d) Quando .
e) Quando e
são coprimos (então
).
f) Mínimo múltiplo comum .
b) Máximo divisor comum
c)
d) Quando
e) Quando
f) Mínimo múltiplo comum