Sendo a e b dois números inteiros, responda:
a) D(a) e D(b) podem ser disjuntos?
b) Que nome se dá a um inteiro m tal que D(a) cap D(b)=D(m) ?
c) Quando D(a) cap D(b)=1,-1, qual é a relação existente entre a e b ?
d) Em que caso ocorre M(a) subset M(b) ?
e) Em que caso ocorre M(a) cap M(b)=M(ab) ?
f) Que nome se dá a um inteiro n tal que M(a) cap M(b)=M(n) ?

Passo 1

O enunciado considera dois inteiros a e b, define D(a) como o conjunto de todos os divisores de a e M(a) como o conjunto de todos os múltiplos de a. As perguntas envolvem entender quando esses conjuntos se intersectam, contêm-se mutuamente ou coincidem com conjuntos de divisores ou múltiplos de outros inteiros. Para resolver, usaremos conceitos de divisibilidade, máximo divisor comum (mdc), coprimalidade e mínimo múltiplo comum (mmc).

Passo 2

a) Dois conjuntos D(a) e D(b) seriam disjuntos se não tivessem nenhum elemento em comum, mas como pm1 divide qualquer inteiro, temos
pm1 in D(a),cap,D(b)
Logo, não podem ser disjuntos.

Passo 3

b) Em geral, a interseção dos conjuntos de divisores satisfaz
D(a),cap,D(b) ;=; Dl(gcd(a,b)r)
Portanto, o inteiro m pedido é o máximo divisor comum de a e b.

Passo 4

c) Se
D(a),cap,D(b) = ,1,-1,
então gcd(a,b)=1. Nesse caso, dizemos que a e b são coprimos (ou relativamente primos).

Passo 5

d) Para os múltiplos, temos M(a)=k,amid kinZ. Logo
M(a)subset M(b)
se e somente se todo múltiplo de a for também múltiplo de b, o que equivale a
b mid a

Passo 6

e) De modo geral,
M(a),cap,M(b) = Ml(lcm(a,b)r)
Para que este conjunto seja exatamente M(ab), é necessário que lcm(a,b)=ab, ou seja, gcd(a,b)=1. Em suma,
M(a)cap M(b)=M(ab)
quando a e b são coprimos.

Passo 7

f) Analogamente ao caso dos divisores, o inteiro n que satisfaz
M(a),cap,M(b) = M(n)
é o mínimo múltiplo comum de a e b.

Resposta

a) Não, pois 1 e -1 pertencem a ambos os conjuntos.
b) Máximo divisor comum gcd(a,b).
c) a e b são coprimos ( gcd(a,b)=1).
d) Quando bmid a.
e) Quando a e b são coprimos (então lcm(a,b)=ab).
f) Mínimo múltiplo comum lcm(a,b).

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