Sendo a e b números reais não nulos, resolva a equação:
raiza^2+x raizb^2+x^2-a^2=x-a

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação com radicais
raiza^2+xraizb^2+x^2-a^2=x-a
onde a e b são reais não nulos. Vamos aplicar isolamento de radicais, duas quadraturas e checar as condições de domínio e os sinais que aparecem a cada passo.

Passo 2

Impondo domínio e sinal de cada radical:
  1. No interior do radical aninhado deve valer
b^2+x^2-a^2>= 0Longrightarrow x^2>= a^2-b^2
  1. Sob a raiz externa, a^2+xraizb^2+x^2-a^2 já é não negativo.
  2. O lado direito x - a deve ser não negativo para igualar a raiz principal, isto é
x - a>= 0Longrightarrow x>= a

Passo 3

Elevar ambos os lados ao quadrado, lembrando que x>= a:
a^2+xraizb^2+x^2-a^2=(x-a)^2=x^2-2ax+a^2
daí
xraizb^2+x^2-a^2=x^2-2ax

Passo 4

Separar o caso x=0 de xneq0.
Caso x=0: Substituindo na equação original,
raiza^2+0cdotraizb^2-a^2=raiza^2=|a|, 0 - a=-a
Isto exige |a|=-a, ou seja a<0, e também b^2-a^2>=0. Logo, x=0 é solução se e só se
a<0 e a^2<= b^2

Passo 5

Caso xneq0: Podemos dividir por x (com x>= a garante que o sinal de divisão não inverte nada), obtendo
raizb^2+x^2-a^2=x-2a
Aqui requeremos x-2a>=0, mas para a<0 isto é automático sempre que x>= a.

Passo 6

Elevar novamente ao quadrado:
b^2+x^2-a^2=(x-2a)^2=x^2-4ax+4a^2
Cancellando x^2 e isolando x:
b^2-a^2=-4ax+4a^2 Longrightarrow 4ax=5a^2-b^2 Longrightarrow x=5a^2-b^24a

Passo 7

Verificamos as condições para este x:
  1. x>= a e x-2a>=0 impõem, para a<0, a única restrição a^2<= b^2.
  2. A condição b^2+x^2-a^2>=0 cai automaticamente (pode ser conferido que o discriminante é (3a^2+b^2)^2>=0).
  3. x>= a também se reduz a a^2<= b^2 quando a<0.
Portanto, esta solução existe e é válida exatamente se
a<0 e a^2<= b^2

Resposta

As soluções são dadas por
x=0 e x=5a^2-b^24a,
sob a condição conjunta
a<0 e a^2<= b^2
Fora desse caso não há solução real.

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