Sendo a e
números reais não nulos, resolva a equação:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação com radicais
onde
e
são reais não nulos. Vamos aplicar isolamento de radicais, duas quadraturas e checar as condições de domínio e os sinais que aparecem a cada passo.
Passo 2
Impondo domínio e sinal de cada radical:
- No interior do radical aninhado deve valer
- Sob a raiz externa,
já é não negativo. - O lado direito
deve ser não negativo para igualar a raiz principal, isto é
Passo 3
Elevar ambos os lados ao quadrado, lembrando que
:
daí
Passo 4
Separar o caso
de
.
Caso
: Substituindo na equação original,
Isto exige
, ou seja
, e também
. Logo,
é solução se e só se
Passo 5
Caso
: Podemos dividir por
(com
garante que o sinal de divisão não inverte nada), obtendo
Aqui requeremos
, mas para
isto é automático sempre que
.
Passo 6
Elevar novamente ao quadrado:
Cancellando
e isolando
:
Passo 7
Verificamos as condições para este
:
-
e impõem, para , a única restrição . - A condição
cai automaticamente (pode ser conferido que o discriminante é ). -
também se reduz a quando .
Portanto, esta solução existe e é válida exatamente se
Resposta
As soluções são dadas por
sob a condição conjunta
Fora desse caso não há solução real.