Uma sequência x_{n} é dada por x_{0}=2, x_{1} =7 e x_{n+1}=7 x_{n}-12 x_{n-1}. Determine o termo geral x_{n} desta sequência.

Passo 1

O enunciado dá a sequência de recorrência linear homogênea de segunda ordem
x_{n+1}=7\,x_{n}-12\,x_{n-1},
com condições iniciais x_{0}=2 e x_{1}=7. O conteúdo aqui é resolver recorrências usando a equação característica.

Passo 2

Formamos a equação característica associada:
r^{2}-7r+12=0.
Resolvendo em r, obtemos as raízes
r_{1}=3, \qquad r_{2}=4.

Passo 3

Como as raízes são distintas, a solução geral da recorrência é
x_{n}=A\cdot3^{n}+B\cdot4^{n},
onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Usamos x_{0}=2\) e \(x_{1}=7\) para montar o sistema: \[\begin{cases} A + B = 2,\\\\ 3A + 4B = 7. \end{cases}
Da primeira equação vem B=2-A\]. Substituindo na segunda: \[3A + 4(2-A)=7 \;\Longrightarrow\; 3A+8-4A=7 \;\Longrightarrow\; -A=-1 \;\Longrightarrow\; A=1,\] logo \(B=2-1=1.

Resposta

A expressão geral da sequência é
x_{n}=3^{n}+4^{n}.

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