O que significa para uma função possuir extremo local em seu domínio? E um valor extremo absoluto? Como se relacionam os extremos local e absoluto? Exemplifique.

Passo 1

O enunciado pede para entendermos o que é um extremo local e um extremo absoluto de uma função f definida em um domínio D\subseteq\mathbb{R}, além de explicitar como esses conceitos se relacionam.

Passo 2

Definimos extremo local da seguinte forma. Dizemos que f tem um
mínimo local em x_0\in D se existe \delta>0 tal que, para todo x\in D\cap(x_0-\delta,x_0+\delta), vale
f(x)\ge f(x_0).
Analogamente, f tem um máximo local em x_0 se existe \delta>0 com
f(x)\le f(x_0)
para todo x\in D\cap(x_0-\delta,x_0+\delta).

Passo 3

Definimos extremo absoluto (ou global) assim. Dizemos que f tem um
mínimo absoluto em x_1\in D se, para todo x\in D,
f(x)\ge f(x_1).
De modo análogo, f tem um máximo absoluto em x_2\in D se, para todo x\in D,
f(x)\le f(x_2).

Passo 4

Relação entre os extremos: todo extremo absoluto que ocorre em um ponto interior de D é também extremo local, pois basta escolher \delta pequeno para manter a desigualdade em um vizinho de x_1 ou x_2. Por outro lado, um ponto de extremo local pode não ser extremo absoluto se houver valores de f fora dessa vizinhança que sejam menores (no caso de mínimo) ou maiores (no caso de máximo).

Passo 5

Exemplos
1) f(x)=x^2 em D=\mathbb{R}. Em x=0 temos
f(x)\ge f(0)=0\quad\forall x\in\mathbb{R},
logo x=0 é mínimo absoluto e, como é interior, também mínimo local.
2) g(x)=x^3-3x em D=\mathbb{R}. Os pontos críticos são x=-1 e x=1. Calcula-se g'(\pm1)=0 e verifica-se que em x=-1 há máximo local g(-1)=2 e em x=1 há mínimo local g(1)=-2. No entanto, g(x)\to+\infty e g(x)\to-\infty quando x\to\pm\infty, então esses extremos locais não são globais.

Resposta

– Extremo local: f(x_0) é mínimo (resp. máximo) local se existe \delta>0 tal que f(x)\ge f(x_0) (resp. f(x)\le f(x_0)) para todo x\in D\cap(x_0-\delta,x_0+\delta).
– Extremo absoluto: f(x_1) é mínimo (resp. máximo) absoluto se f(x)\ge f(x_1) (resp. f(x)\le f(x_1)) para todo x\in D.
– Relação: todo extremo absoluto interior é também local; mas nem todo extremo local é absoluto.
– Exemplos:
\bullet f(x)=x^2 tem mínimo local e absoluto em x=0.
\bullet g(x)=x^3-3x tem extremos locais em x=-1,1 que não são absolutos.

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