O que significa para uma função possuir extremo local em seu domínio? E um valor extremo absoluto? Como se relacionam os extremos local e absoluto? Exemplifique.
Passo 1
O enunciado pede para entendermos o que é um extremo local e um extremo absoluto de uma função
definida em um domínio
, além de explicitar como esses conceitos se relacionam.
Passo 2
Definimos extremo local da seguinte forma. Dizemos que
tem um
mínimo local em se existe
tal que, para todo
, vale
mínimo local em
Analogamente,
tem um máximo local em
se existe
com
para todo
.
Passo 3
Definimos extremo absoluto (ou global) assim. Dizemos que
tem um
mínimo absoluto em se, para todo
,
mínimo absoluto em
De modo análogo,
tem um máximo absoluto em
se, para todo
,
Passo 4
Relação entre os extremos: todo extremo absoluto que ocorre em um ponto interior de
é também extremo local, pois basta escolher
pequeno para manter a desigualdade em um vizinho de
ou
. Por outro lado, um ponto de extremo local pode não ser extremo absoluto se houver valores de
fora dessa vizinhança que sejam menores (no caso de mínimo) ou maiores (no caso de máximo).
Passo 5
Exemplos
)
em
. Em
temos
logo
é mínimo absoluto e, como é interior, também mínimo local.
)
em
. Os pontos críticos são
e
. Calcula-se
e verifica-se que em
há máximo local
e em
há mínimo local
. No entanto,
e
quando
, então esses extremos locais não são globais.
Resposta
– Extremo local:
é mínimo (resp. máximo) local se existe
tal que
(resp.
) para todo
.
– Extremo absoluto: é mínimo (resp. máximo) absoluto se
(resp.
) para todo
.
– Relação: todo extremo absoluto interior é também local; mas nem todo extremo local é absoluto.
– Exemplos:
tem mínimo local e absoluto em
.
tem extremos locais em
que não são absolutos.
– Extremo absoluto:
– Relação: todo extremo absoluto interior é também local; mas nem todo extremo local é absoluto.
– Exemplos: