Suponha que a função crescente
seja lisa para
e que
a. Faça
denotar o comprimento do gráfico de
desde ( 0 , a) até
. Determine
se
para algum
constante. Quais são os valores permitidos para
?
Passo 1
O enunciado diz que
é crescente e lisa para
, com
, e que o comprimento do arco de seu gráfico desde
até
é
onde
é constante. Para resolver precisamos usar a fórmula do comprimento de arco de
:
Passo 2
Como
e também
, podemos derivar ambos os lados em relação a
. Isso dá
Passo 3
Da igualdade
seguimos
e como
é crescente escolhemos o sinal positivo:
Integrando em
e usando
obtemos
Passo 4
Para que a expressão
seja real, é necessário
Além disso, a fórmula do comprimento de arco exige
. Logo os valores permitidos são
Se quisermos
estritamente crescente, então
e assim
.