Suponha que a função crescente f(x) seja lisa para x \geq 0 e que f(0)= a. Faça s(x) denotar o comprimento do gráfico de f desde ( 0 , a) até (x, f(x)), x>0. Determine f(x) se s(x)=C x para algum C constante. Quais são os valores permitidos para C ?

Passo 1

O enunciado diz que f é crescente e lisa para x\ge0, com f(0)=a, e que o comprimento do arco de seu gráfico desde (0,a) até (x,f(x)) é
s(x)=C\,x,
onde C é constante. Para resolver precisamos usar a fórmula do comprimento de arco de y=f(x):
s(x)=\int_{0}^{x}\sqrt{1+\bigl(f'(t)\bigr)^{2}}\;dt.

Passo 2

Como s(x)=\int_{0}^{x}\sqrt{1+[f'(t)]^{2}}\;dt e também s(x)=C\,x, podemos derivar ambos os lados em relação a x. Isso dá
\frac{d}{dx}s(x) =\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}} =\frac{d}{dx}\bigl(Cx\bigr) =C.

Passo 3

Da igualdade
\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}=C
seguimos
\bigl(f'(x)\bigr)^{2}=C^{2}-1,
e como f é crescente escolhemos o sinal positivo:
f'(x)=\sqrt{C^{2}-1}.
Integrando em x e usando f(0)=a obtemos
f(x)=a+\sqrt{C^{2}-1}\;x.

Passo 4

Para que a expressão \sqrt{C^{2}-1} seja real, é necessário
C^{2}-1\ge0 \quad\Longrightarrow\quad C\ge1.
Além disso, a fórmula do comprimento de arco exige C>0. Logo os valores permitidos são
C\ge1.
Se quisermos f estritamente crescente, então \sqrt{C^{2}-1}>0 e assim C>1.

Resposta

f(x)=a+\sqrt{C^{2}-1}\;x, com C\ge1 (e para f estritamente crescente exige-se C>1).

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