26 Suponha que seja dada uma sequência com limite igual a L e que você troque a sequência somando 50 aos primeiros 1000 termos, mantendo os demais inalterados. Explique por que a nova sequência também tem limite igual a L.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma sequência (a_n) que converge para L e que definimos outra sequência (b_n) onde somamos 50 apenas aos primeiros 1000 termos, mantendo os demais iguais. O conteúdo central é a definição de limite de sequência e o fato de que alterar um número finito de termos não afeta o limite.

Passo 2

Pela definição, (a_n) converge para L significa:
\forall \varepsilon>0\;\exists N\in\mathbb{N}\;\text{tal que, se }n\ge N,\;\lvert a_n - L\rvert < \varepsilon.

Passo 3

Definimos
b_n = \begin{cases} a_n + 50, & n \le 1000,\\\ a_n, & n > 1000. \end{cases}
Assim, só um número finito de termos (os primeiros 1000) foi modificado.

Passo 4

Dado \varepsilon>0, exista N tal que, para todo n\ge N, \lvert a_n - L\rvert < \varepsilon. Defina M = \max\{N,1000\}. Se n\ge M então n>1000, logo b_n = a_n e
\lvert b_n - L\rvert = \lvert a_n - L\rvert < \varepsilon.
Isso mostra que, da mesma forma que a_n, a sequência b_n converge para L.

Resposta

A nova sequência (b_n) converge para L.

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