26 Suponha que seja dada uma sequência com limite igual a
e que você troque a sequência somando 50 aos primeiros 1000 termos, mantendo os demais inalterados. Explique por que a nova sequência também tem limite igual a
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma sequência
que converge para
e que definimos outra sequência
onde somamos 50 apenas aos primeiros 1000 termos, mantendo os demais iguais. O conteúdo central é a definição de limite de sequência e o fato de que alterar um número finito de termos não afeta o limite.
Passo 2
Pela definição,
converge para
significa:
Passo 3
Definimos
Assim, só um número finito de termos (os primeiros 1000) foi modificado.
Passo 4
Dado
, exista
tal que, para todo
,
. Defina
. Se
então
, logo
e
Isso mostra que, da mesma forma que
, a sequência
converge para
.
Resposta
A nova sequência
converge para
.