Suponha que A seja um subconjunto de V^{*}, em que V é um alfabeto. Demonstre ou mostre que não é válida cada uma destas afirmações.
A{\lambda}=A

Passo 1

O enunciado considera uma linguagem A \subseteq V^{*} e o símbolo \lambda como a cadeia vazia em V^{*}. A afirmação a verificar é
A\,\lambda = A.
Isso envolve a operação de concatenação entre linguagem e cadeia. Vamos mostrar que essa igualdade é sempre verdadeira.

Passo 2

Primeiro mostramos A\,\lambda \subseteq A. Seja x \in A\,\lambda.
Por definição de concatenação de linguagens, existe w \in A e u \in \{\lambda\} tal que
x = w\,u.
Mas o único elemento de \{\lambda\} é \lambda, e concatenar qualquer cadeia w com \lambda w. Logo
x = w\,\lambda = w.
Como w\in A, segue que x\in A. Assim, A\,\lambda \subseteq A.

Passo 3

Agora mostramos A \subseteq A\,\lambda. Seja x\in A. Note que
x = x\,\lambda,
pois concatenar \lambda à direita de x não altera x. Como x\in A e \lambda\in\{\lambda\}, a definição de concatenação garante que x\in A\,\lambda. Logo A \subseteq A\,\lambda.

Resposta

Como temos A\,\lambda \subseteq A e A \subseteq A\,\lambda, concluímos que
A\,\lambda = A.

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