Suponha que você saiba que um jogador de golfe acerta o primeiro buraco de uma seqüência com um número infinito de buracos, e que, se esse jogador acertar um buraco, então acertará o próximo também. Demonstre que esse jogador acerta todos os buracos da seqüência.
Passo 1
O enunciado fala de uma sequência infinita de buracos numerados por
. Sabemos que o jogador acerta o buraco de número 1 e que, sempre que ele acerta um buraco de número
, ele também acerta o buraco de número
. O objetivo é mostrar, utilizando o princípio da indução matemática (ou, alternativamente, o argumento do mínimo contra-exemplo), que o jogador acerta todos os buracos da sequência.
Passo 2
Definimos a proposição
Base da indução
: pelo enunciado, sabemos que
é verdadeira, pois o jogador acerta o primeiro buraco.
Passo 3
Passo indutivo: suponha que, para algum
, a proposição
seja verdadeira, ou seja, o jogador acertou o buraco
. Então, pela hipótese do problema, ele necessariamente acerta também o buraco
. Logo,
.
Passo 4
Pelo princípio da indução matemática, das etapas anteriores decorre que
é verdadeira para todo
. Assim, o jogador acerta cada buraco de número
, para todo
.
Resposta
O jogador acerta todos os buracos da sequência.