Suponha que você saiba que um jogador de golfe acerta o primeiro buraco de uma seqüência com um número infinito de buracos, e que, se esse jogador acertar um buraco, então acertará o próximo também. Demonstre que esse jogador acerta todos os buracos da seqüência.

Passo 1

O enunciado fala de uma sequência infinita de buracos numerados por 1,2,3,\dots. Sabemos que o jogador acerta o buraco de número 1 e que, sempre que ele acerta um buraco de número n, ele também acerta o buraco de número n+1. O objetivo é mostrar, utilizando o princípio da indução matemática (ou, alternativamente, o argumento do mínimo contra-exemplo), que o jogador acerta todos os buracos da sequência.

Passo 2

Definimos a proposição
P(n): \text{“o jogador acerta o buraco de número }n\text{.”}ú
Base da indução n=1: pelo enunciado, sabemos que P(1) é verdadeira, pois o jogador acerta o primeiro buraco.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que, para algum k\ge1, a proposição P(k) seja verdadeira, ou seja, o jogador acertou o buraco k. Então, pela hipótese do problema, ele necessariamente acerta também o buraco k+1. Logo, P(k)\implies P(k+1).

Passo 4

Pelo princípio da indução matemática, das etapas anteriores decorre que P(n) é verdadeira para todo n\in\mathbb{N}. Assim, o jogador acerta cada buraco de número n, para todo n.

Resposta

O jogador acerta todos os buracos da sequência.

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