A tabela fornece o número de células de levedura em uma cultura nova de laboratório.
Tempo
(horas)
Células de
levedura
Tempo
(horas)
Células de
levedura
0 18 10 509
2 39 12 597
4 80 14 640
6 171 16 664
8 336 18 672
(a) Marque os dados e use o gráfico para estimar a capacidade de suporte para a população de levedura.
(b) Use os dados para estimar a taxa de crescimento inicial relativa.
(c) Encontre um modelo exponencial e um modelo logístico para esses dados.
(d) Compare os valores previstos com os valores observados, na tabela e nos gráficos. Comente como seus modelos se ajustam aos dados.
(e) Utilize seu modelo logístico para estimar o número de células de levedura depois de sete horas.

Passo 1

O enunciado fornece o número de células de levedura em função do tempo (de 0 a 18 h) e pede: (a) a capacidade de suporte (carrying capacity) usando o gráfico; (b) a taxa de crescimento inicial relativa; (c) um modelo exponencial e um logístico; (d) comparar os ajustes com os dados; (e) usar o modelo logístico para estimar N(7). Vamos usar conceitos de crescimento exponencial e logístico.

Passo 2

Observando a tabela, após cerca de 16–18 h o número de células se aproxima de um valor máximo em torno de 672. Logo, estimamos a capacidade de suporte
K\approx672.

Passo 3

Para a taxa de crescimento inicial relativa r, usamos os dois primeiros pontos (0,18) e (2,39) assumindo crescimento exponencial no início:
39 = 18\,e^{2r} \quad\Longrightarrow\quad e^{2r}=\frac{39}{18}=2{,}1667 \quad\Longrightarrow\quad r=\frac12\ln(2{,}1667)\approx0{,}387\;\text{h}^{-1}.

Passo 4

O modelo exponencial ajustado é, portanto,
N_{\mathrm{exp}}(t)=18\,e^{0{,}387\,t}.

Passo 5

No modelo logístico usamos a forma
N_{\mathrm{log}}(t)=\frac{K}{1 + A\,e^{-r t}},
onde A=(K-N_0)/N_0=(672-18)/18\approx36{,}33 e r=0{,}387. Assim,
N_{\mathrm{log}}(t) =\frac{672}{1 + 36{,}33\,e^{-0{,}387\,t}}.

Passo 6

Comparando modelos e dados:
  • O exponencial ajusta muito bem até cerca de 6–8 h, mas depois cresce sem limite (por exemplo, em t=18 prevê N_{\mathrm{exp}}(18)\approx18e^{6{,}966}\gg672), destoando dos dados.
  • O logístico cresce inicialmente quase igual ao exponencial e depois se aproxima de K=672, seguindo o comportamento observado de saturação. Por exemplo, em t=14 o logístico dá N_{\mathrm{log}}(14)\approx593 (observado 640) enquanto o exponencial já daria muito mais.

Passo 7

Para estimar N(7) pelo modelo logístico, calculamos
N_{\mathrm{log}}(7) =\frac{672}{1 + 36{,}33\,e^{-0{,}387\times7}} \approx\frac{672}{1 + 36{,}33\,e^{-2{,}709}} \approx\frac{672}{1 + 36{,}33\times0{,}0667} \approx196{,}4.

Resposta

(a) K\approx672.
(b) r\approx0{,}387\\ \text{h}^{-1}.
(c)
N_{\mathrm{exp}}(t)=18\,e^{0{,}387\,t}, \qquad N_{\mathrm{log}}(t)=\frac{672}{1 + 36{,}33\,e^{-0{,}387\,t}}.
(d) O modelo exponencial ajusta bem nos instantes iniciais, mas ultrapassa K e falha para t>8 h. O logístico acomoda o platô em torno de 672 e descreve melhor toda a curva.
(e) N_{\mathrm{log}}(7)\approx196 células.

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