A tabela fornece o número de células de levedura em uma cultura nova de laboratório.
Tempo
(horas)
Células de
levedura
Tempo
(horas)
Células de
levedura
0
18
10
509
2
39
12
597
4
80
14
640
6
171
16
664
8
336
18
672
(a) Marque os dados e use o gráfico para estimar a capacidade de suporte para a população de levedura.
(b) Use os dados para estimar a taxa de crescimento inicial relativa.
(c) Encontre um modelo exponencial e um modelo logístico para esses dados.
(d) Compare os valores previstos com os valores observados, na tabela e nos gráficos. Comente como seus modelos se ajustam aos dados.
(e) Utilize seu modelo logístico para estimar o número de células de levedura depois de sete horas.
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||||||||
| 0 | 18 | 10 | 509 | ||||||||
| 2 | 39 | 12 | 597 | ||||||||
| 4 | 80 | 14 | 640 | ||||||||
| 6 | 171 | 16 | 664 | ||||||||
| 8 | 336 | 18 | 672 |
(b) Use os dados para estimar a taxa de crescimento inicial relativa.
(c) Encontre um modelo exponencial e um modelo logístico para esses dados.
(d) Compare os valores previstos com os valores observados, na tabela e nos gráficos. Comente como seus modelos se ajustam aos dados.
(e) Utilize seu modelo logístico para estimar o número de células de levedura depois de sete horas.
Passo 1
O enunciado fornece o número de células de levedura em função do tempo (de 0 a 18 h) e pede: (a) a capacidade de suporte (carrying capacity) usando o gráfico; (b) a taxa de crescimento inicial relativa; (c) um modelo exponencial e um logístico; (d) comparar os ajustes com os dados; (e) usar o modelo logístico para estimar
. Vamos usar conceitos de crescimento exponencial e logístico.
Passo 2
Observando a tabela, após cerca de 16–18 h o número de células se aproxima de um valor máximo em torno de 672. Logo, estimamos a capacidade de suporte
Passo 3
Para a taxa de crescimento inicial relativa
, usamos os dois primeiros pontos
e
assumindo crescimento exponencial no início:
Passo 4
O modelo exponencial ajustado é, portanto,
Passo 5
No modelo logístico usamos a forma
onde
e
. Assim,
Passo 6
Comparando modelos e dados:
- O exponencial ajusta muito bem até cerca de 6–8 h, mas depois cresce sem limite (por exemplo, em
prevê ), destoando dos dados. - O logístico cresce inicialmente quase igual ao exponencial e depois se aproxima de
, seguindo o comportamento observado de saturação. Por exemplo, em o logístico dá (observado 640) enquanto o exponencial já daria muito mais.
Passo 7
Para estimar
pelo modelo logístico, calculamos
Resposta
(a)
.
(b) .
(c)
(b)
(c)
(d) O modelo exponencial ajusta bem nos instantes iniciais, mas ultrapassa
e falha para
h. O logístico acomoda o platô em torno de 672 e descreve melhor toda a curva.
(e) células.
(e)