O Teorema Fundamental da Álgebra afirma que todo polinômio com coeficientes complexos possui uma raiz (real ou complexa). Prove, como corolário, que todo polinômio de grau possui raízes, contadas as multiplicidades; e sendo essas raízes, então se escreve . Prove também que se o polinômio tem coeficientes reais, e se é uma raiz complexa, então também é raiz.
Passo 1
O enunciado pede para usar o Teorema Fundamental da Álgebra, que garante que todo polinômio não-constante com coeficientes complexos tem pelo menos uma raiz em . Queremos então mostrar, por indução sobre o grau , que:
tem exatamente raízes (contando multiplicidades) .
Se é o coeficiente líder de , então
Em seguida, vale provar que, se os coeficientes de são reais e é raiz, então também o é.
Passo 2
Caso base n=1.
Se deg P=1, então P(x)=a,x+b com aneq0. A raiz é
alpha=-ba,
e claramente
P(x)=a,(x-alpha)
Passo 3
Passo de indução.
Suponha que todo polinômio de grau <n satisfaz a fatoração pedida. Seja P(x) de grau n. Pelo Teorema Fundamental da Álgebra existe uma raiz alpha1inC. Pelo Teorema do Resto, podemos dividir
P(x)=(x-alpha1),Q(x),
onde Q(x) é um polinômio de grau n-1 com mesmos coeficientes (complexos).
Passo 4
Aplicando a hipótese de indução a Q(x), obtemos raízes alpha2,dots,alphan (contando multiplicidades) e o coeficiente líder de Q é exatamente a. Logo
Q(x)=a,(x-alpha2)cdots(x-alphan)
Substituindo em P(x)=(x-alpha1),Q(x) vem
P(x)=a,(x-alpha1)(x-alpha2)cdots(x-alphan),
mostrando que P tem n raízes contadas multiplicidades e fatora-se como produto de fatores lineares.
Passo 5
Raízes conjugadas no caso real.
Se todos os coeficientes de P são reais e P(alpha)=0, então tomando conjugado complexo em cada coeficiente e em alpha obtemos
P(alpha) =P(alpha) =0 =0
Logo alpha também é raiz de P.
Resposta
Fatoração completa com n raízes contadas multiplicidades:
P(x)=a,(x-alpha1)cdots(x-alphan),
e, se os coeficientes são reais, raízes não-reais ocorrem em pares conjugados.
Cálculo - Geraldo Ávila - Variáveis Complexas e Aplicações - 3ª Edição - Capítulo 1.Módulo e complexo conjugado - Ex. 40