O Teorema Fundamental da Álgebra afirma que todo polinômio com coeficientes complexos possui uma raiz (real ou complexa). Prove, como corolário, que todo polinômio P(x) de grau n possui n raízes, contadas as multiplicidades; e sendo alpha1, ldots, alphan essas raízes, então P(x) se escreve P(x)=a(x-alpha1) ldots(x-alphan). Prove também que se o polinômio tem coeficientes reais, e se alpha é uma raiz complexa, então baralpha também é raiz.

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema Fundamental da Álgebra, que garante que todo polinômio não-constante P(x) com coeficientes complexos tem pelo menos uma raiz em C. Queremos então mostrar, por indução sobre o grau n=deg P, que:
  1. P tem exatamente n raízes (contando multiplicidades) alpha1,dots,alphan.
  2. Se a é o coeficiente líder de P, então
P(x)=a,(x-alpha1)cdots(x-alphan)
Em seguida, vale provar que, se os coeficientes de P são reais e alpha é raiz, então overlinealpha também o é.

Passo 2

Caso base n=1.
Se deg P=1, então P(x)=a,x+b com aneq0. A raiz é
alpha=-ba,
e claramente
P(x)=a,(x-alpha)

Passo 3

Passo de indução.
Suponha que todo polinômio de grau <n satisfaz a fatoração pedida. Seja P(x) de grau n. Pelo Teorema Fundamental da Álgebra existe uma raiz alpha1inC. Pelo Teorema do Resto, podemos dividir
P(x)=(x-alpha1),Q(x),
onde Q(x) é um polinômio de grau n-1 com mesmos coeficientes (complexos).

Passo 4

Aplicando a hipótese de indução a Q(x), obtemos raízes alpha2,dots,alphan (contando multiplicidades) e o coeficiente líder de Q é exatamente a. Logo
Q(x)=a,(x-alpha2)cdots(x-alphan)
Substituindo em P(x)=(x-alpha1),Q(x) vem
P(x)=a,(x-alpha1)(x-alpha2)cdots(x-alphan),
mostrando que P tem n raízes contadas multiplicidades e fatora-se como produto de fatores lineares.

Passo 5

Raízes conjugadas no caso real.
Se todos os coeficientes de P são reais e P(alpha)=0, então tomando conjugado complexo em cada coeficiente e em alpha obtemos
P(alpha) =P(alpha) =0 =0
Logo alpha também é raiz de P.

Resposta

Fatoração completa com n raízes contadas multiplicidades:
P(x)=a,(x-alpha1)cdots(x-alphan),
e, se os coeficientes são reais, raízes não-reais ocorrem em pares conjugados.

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