Um teste de múltipla escolha consiste em cinco questões, cada uma com quatro alternativas. Cada questão tem exatamente uma resposta correta.
(a) Existem quantas maneiras diferentes de preencher a folha de respostas?
(b) De quantas maneiras diferentes podemos preencher a folha de respostas de modo que quatro questões estejam corretas e uma esteja incorreta?
(c) Válter chuta aleatoriamente as respostas em cada questão. Qual a probabilidade de ele conseguir acertar três ou menos questões?

Passo 1

O enunciado trata de um teste de múltipla escolha com 5 questões, cada uma com 4 alternativas (uma correta e três erradas). Vamos usar contagem elementar para as partes (a) e (b) e distribuição binomial para a parte (c).

Passo 2

Para (a), cada questão pode ser respondida de 4 maneiras, independentemente das outras. Logo, o número total de jeitos de preencher a folha é
4^5

Passo 3

Para (b), queremos exatamente 4 acertos e 1 erro. Primeiro escolhemos qual das 5 questões será respondida errado, e em seguida essa questão pode ter uma de 3 alternativas erradas. Assim,
nº de jeitos = 5 times 3 º

Passo 4

Na parte (c), ao chutar aleatoriamente, a probabilidade de acerto em cada questão é p=tfrac14. Se X é o número de acertos em 5 questões, então
X sim Binomial(n=5,,p=tfrac14)

Passo 5

Precisamos de Pr(X<=3). É mais fácil calcular o complementar:
Pr(X<=3) = 1 - Pr(X=4) - Pr(X=5)
Onde
Pr(X=4) = binom54l(tfrac14r)^4l(tfrac34r)^1 =5cdottfrac1256cdottfrac34=tfrac151024,
Pr(X=5) = binom55l(tfrac14r)^5l(tfrac34r)^0 =1cdottfrac11024=tfrac11024

Passo 6

Somando os casos extremos temos
Pr(X=4)+Pr(X=5)=tfrac151024+tfrac11024=tfrac161024=tfrac164,
portanto
Pr(X<=3)=1-tfrac164=tfrac6364approx0,984375

Resposta

(a) 4^5 = 1024
(b) 5 times 3 = 15
(c) tfrac6364 (aprox. 0,984375)

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