3.3.12 A é 2 \times 2 e ortogonal. Ache a forma mais geral de
\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right)
Compare com a rotação bidimensional.

Passo 1

O enunciado pede a forma mais geral de uma matriz 2\times2 ortogonal
A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix},
isto é, que satisfaça
A^T A = I \quad\text{e}\quad \det A = \pm1.
Vamos usar essas condições para achar restrições sobre a,b,c,d.

Passo 2

Impondo
A^T A =\begin{pmatrix}a&c\b&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a^2+c^2 & ab+cd\\\ ab+cd & b^2+d^2\end{pmatrix} =I
obtemos as equações
a^2+c^2=1, \quad b^2+d^2=1, \quad ab+cd=0.
Além disso, \det A = ad - bc = \pm1.

Passo 3

Da condição a^2+c^2=1 podemos parametrizar
(a,c)=(\cos\theta,\sin\theta) \quad\text{ou}\quad (a,c)=(\cos\theta,-\sin\theta).
Definindo \varepsilon=\det A=\pm1, a segunda coluna (b,d) deve ser ortogonal à primeira e de norma unitária, o que leva a
(b,d)=(-\varepsilon\sin\theta,\;\varepsilon\cos\theta).
Logo a forma geral é
A=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\varepsilon\sin\theta\\\ \sin\theta & \varepsilon\cos\theta \end{pmatrix}.

Passo 4

Quando \varepsilon=+1 temos
A=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix},
que é exatamente a matriz de rotação bidimensional de ângulo \theta.
Para \varepsilon=-1 aparece uma rotação seguida de reflexão (determinante -1).

Resposta

A=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\varepsilon\sin\theta\\\ \sin\theta & \varepsilon\cos\theta \end{pmatrix}, \quad \varepsilon\in\{+1,-1\}.

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