3.3.7 Mostre que a matriz de rotação do ângulo de Euler
satisfaz as seguintes relações:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a matriz de rotação de Euler
satisfaz
O que vamos precisar:
– A decomposição de em rotações elementares,
– A propriedade de que ,
– E que a inversa de uma rotação em torno de um eixo é a rotação pelo ângulo negativo.
– A decomposição de
– A propriedade de que
– E que a inversa de uma rotação em torno de um eixo é a rotação pelo ângulo negativo.
Passo 2
Recordando a definição em convensão ZXZ, escrevemos
onde
é a rotação de ângulo
em torno do eixo
e
a rotação em torno do eixo
.
Passo 3
Aplicamos a regra do inverso de um produto de matrizes:
Passo 4
Usamos agora que toda rotação satisfaz
portanto
Passo 5
Substituindo no produto invertido, obtemos
que era o que queríamos demonstrar.