3.3.7 Mostre que a matriz de rotação do ângulo de Euler \mathrm{A}(\alpha, \beta, \gamma) satisfaz as seguintes relações:
(b) \mathrm{A}^{-1}(\alpha, \beta, \gamma)=\mathrm{A}(-\gamma,-\beta,-\alpha)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a matriz de rotação de Euler
\mathrm{A}(\alpha,\beta,\gamma) satisfaz
\mathrm{A}^{-1}(\alpha,\beta,\gamma)=\mathrm{A}(-\gamma,-\beta,-\alpha).
O que vamos precisar:
– A decomposição de \mathrm{A}(\alpha,\beta,\gamma) em rotações elementares,
– A propriedade de que (M_1M_2)^{-1}=M_2^{-1}M_1^{-1},
– E que a inversa de uma rotação em torno de um eixo é a rotação pelo ângulo negativo.

Passo 2

Recordando a definição em convensão ZXZ, escrevemos
\mathrm{A}(\alpha,\beta,\gamma) =R_z(\alpha)\;R_x(\beta)\;R_z(\gamma),
onde R_z(\theta) é a rotação de ângulo \theta em torno do eixo z e R_x(\theta) a rotação em torno do eixo x.

Passo 3

Aplicamos a regra do inverso de um produto de matrizes:
\bigl(R_z(\alpha)\,R_x(\beta)\,R_z(\gamma)\bigr)^{-1} =R_z(\gamma)^{-1}\;R_x(\beta)^{-1}\;R_z(\alpha)^{-1}.

Passo 4

Usamos agora que toda rotação satisfaz
R_{\ast}(\theta)^{-1}=R_{\ast}(-\theta),
portanto
R_z(\gamma)^{-1}=R_z(-\gamma), \quad R_x(\beta)^{-1}=R_x(-\beta), \quad R_z(\alpha)^{-1}=R_z(-\alpha).

Passo 5

Substituindo no produto invertido, obtemos
\mathrm{A}^{-1}(\alpha,\beta,\gamma) =R_z(-\gamma)\;R_x(-\beta)\;R_z(-\alpha) =\mathrm{A}(-\gamma,-\beta,-\alpha),
que era o que queríamos demonstrar.

Resposta

\displaystyle \mathrm{A}^{-1}(\alpha,\beta,\gamma)=\mathrm{A}(-\gamma,-\beta,-\alpha).

Exercícios de Livros Relacionados