Em um triângulo ABC os ângulos A e B medem, respectivamente, 70^circ e 60^circ. Determine a razão entre os dois maiores ângulos formados pelas interseções das três alturas.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC com
hat A = 70^circ, hat B = 60^circ, hat C = 50^circ
e pede a razão entre os dois maiores ângulos formados pelas três alturas, que se encontram no ortocentro H. Vamos usar a ideia de que cada altura é perpendicular a um lado e, portanto, o ângulo entre duas alturas é igual ao ângulo entre os lados correspondentes, ou ao seu suplementar.

Passo 2

Cada par de alturas forma em H um ângulo igual ao ângulo do vértice oposto no triângulo:
– entre as alturas de A e B temos
ang<=(a<A,a<B)=hat C = 50^circ,
– entre as alturas de B e C temos
ang<=(a<B,a<C)=hat A = 70^circ,
– entre as alturas de C e A temos
ang<=(a<C,a<A)=hat B = 60^circ

Passo 3

No entorno de H também surgem os ângulos suplementares a esses, pois as retas geram 6 ângulos ao total. São eles:
180^circ - 50^circ = 130^circ, 180^circ - 70^circ = 110^circ, 180^circ - 60^circ = 120^circ

Passo 4

Dos seis ângulos em H, os dois maiores são
130^circe120^circ
A razão entre eles é
130^circ120^circ = 1312

Resposta

dfrac1312

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