Um triângulo escaleno de lados 13 cm, 14 cm e 15 cm gira 360^circ em torno do lado de 14 cm . Determine a área e o volume do sólido obtido.

Passo 1

Temos um triângulo de lados 13, 14 e 15 cm que gira em torno do lado de 14 cm. O sólido gerado é a união de dois cones retos que compartilham a mesma base circular. Para resolver vamos:
  1. achar a área do triângulo (para extrair a altura relativa ao lado de 14),
  2. decompor o sólido em dois cones de raios iguais e alturas dadas pelas projeções dos lados sobre o eixo,
  3. calcular volume e área lateral desses cones.

Passo 2

Calculemos primeiro a área do triângulo por Heron. O semiperímetro é
s=13+14+152=21
A área é
Áreatriang<= =raizs(s-13)(s-14)(s-15) =raiz21cdot8cdot7cdot6 =84 cm^2 Á

Passo 3

A altura h relativa ao lado de 14 vale
h=2cdot8414=12 cm
Esse será o raio comum r da base dos dois cones.

Passo 4

Para dividir o triângulo em dois cones achamos a projeção do lado de comprimento 13 sobre o lado de 14:
dB=13^2+14^2-15^22cdot14 =169+196-22528 =5 cm
Assim a projeção do lado de 15 é
dC=14-5=9 cm

Passo 5

Cada cone tem raio r=12 e alturas h1=dB=5 e h2=dC=9. Logo o volume total é
V =13pi r^2h1+13pi r^2h2 =13picdot12^2,(5+9) =13picdot144cdot14 =672pi cm^3

Passo 6

A área lateral de cada cone é pi r si, onde s1=13 e s2=15 são as geratrizes (justamente os lados do triângulo). Então a área lateral total é
A =picdot12cdot13+picdot12cdot15 =picdot12,(13+15) =336pi cm^2

Resposta

Área superficial do sólido: 336pi cm^2
Volume do sólido: 672pi cm^3

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