Os triângulos ABC e DBC são isósceles, de base , e estão situados em planos distintos. Prove que as retas A D e B C são ortogonais.
Sendo M o ponto médio de BC, as retas over<=ftrightarrowA M e over<=ftrightarrowD M são concorrentes, pois os planos (A, B, C) e (D, B, C) são distintos. ltriang<= ABC isósce<=s Rightarrow B C perp over<=ftrightarrowA M triang<= DBC isósce<=s Rightarrow B C perp D M Rightarrowóó Rightarrow over<=ftrightarrowB C perp(A, M, D) Rightarrow over<=ftrightarrowB C perp over<=ftrightarrowA D
Passo 1
Resumindo, temos dois triângulos ABC e DBC isósceles sobre a mesma base BC, em planos distintos, e queremos mostrar que a reta AD é perpendicular à reta BC.
Conteúdo: geometria espacial (propriedade de triângulo isósceles e perpendicularidade de reta a plano).
O que vamos usar:
Num triângulo isósceles a mediana relativa à base é também altura, logo perpendicular à base.
Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes num ponto, ela é perpendicular ao plano determinado por essas duas retas.
Passo 2
Seja M o ponto médio de BC. No triângulo ABC isósceles de base BC, a mediana AM é também altura, ou seja,
BC;perp;AM
Passo 3
De modo análogo, no triângulo DBC isósceles de base BC, a mediana DM é altura, logo
BC;perp;DM
Passo 4
As retas over<=ftrightarrowAM e over<=ftrightarrowDM se cruzam em M e não são colineares (pois os planos de ABC e DBC são distintos), portanto definem o plano (A,M,D). Como BC é perpendicular a duas retas concorrentes nesse ponto, concluímos
BC;perp;(A,M,D)
Passo 5
Como a reta AD pertence ao plano (A,M,D), segue que
BC;perp;AD
Resposta
ADperpBC.
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 10: Geometria espacial - Posição e métrica - 7ª Edição - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 70