(UECE-18) Considerando f: R \rightarrow R a função definida por f(x)=3.2^{\prime} e \left(x_{1}, x_{2}\right., \mathrm{x}_{3}, \ldots, \mathrm{x}_{\mathrm{n}}, \ldots ) uma progressão aritmética cujo primeiro termo x_{1} é igual a um e cuja razão é igual a - 1 / 2, pode-se afirmar corretamente que o valor da “soma infinita” f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)+f\left(x_{3}\right)+\ldots+f\left(x_{n}\right) +\ldots é igual a
A) 8(2+\sqrt{2}).
B) 2(2+\sqrt{2}).
C) 6(2+\sqrt{2}).
D) 4(2+\sqrt{2}).

Passo 1

O enunciado dá uma PA \bigl(x_{1},x_{2},x_{3},\dots\bigr) com x_{1}=1 e razão r=-\tfrac12, e define a função
f(x)=3\cdot2^{x}.
Queremos calcular a soma infinita
\sum_{n=1}^{\infty}f(x_{n})\,.

Passo 2

Primeiro, obtemos o termo geral da PA. Para uma PA de primeiro termo x_{1} e razão r vale
x_{n}=x_{1}+(n-1)\,r.
Aqui x_{1}=1 e r=-\tfrac12, logo
x_{n}=1-(n-1)\,\frac12=1-\frac{n-1}{2}.

Passo 3

Agora, substituímos na função f. Temos
f(x_{n})=3\cdot2^{\,x_{n}} =3\cdot2^{\,1-\frac{n-1}{2}} =3\cdot2\cdot2^{-\frac{n-1}{2}} =6\bigl(2^{-\frac12}\bigr)^{\,n-1}.

Passo 4

Reconhecemos uma série geométrica infinita de primeiro termo a=6 e razão q=2^{-\tfrac12}. Como \lvert q\rvert<1, a soma é
\sum_{n=1}^{\infty}6\bigl(2^{-\tfrac12}\bigr)^{n-1} =\frac{6}{1-2^{-\tfrac12}}.
Para simplificar, escrevemos
\frac{1}{1-2^{-\tfrac12}} =\frac{1}{1-\frac{1}{\sqrt2}} =\frac{1+\frac{1}{\sqrt2}}{1-\frac12} =2\Bigl(1+\frac{1}{\sqrt2}\Bigr) =2+\sqrt2.
Portanto
\sum_{n=1}^{\infty}f(x_{n}) =6\bigl(2+\sqrt2\bigr).

Resposta

C) 6(2+\sqrt2).

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