(UECE-12) Uma sequência de números reais a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, \ldots é uma progressão harmônica se seus inversos 1 / a_{1}, 1 / a_{2}, 1 / a_{3}, 1 / a_{4}, \ldots formam uma progressão aritmética. Se os números 1, 3,-3, nesta ordem, são os três primeiros termos de uma progressão harmônica, então o décimo terceiro termo desta progressão harmônica é
a) -1 / 9.
b) -1 / 7.
c) -1 / 6.
d) -1 / 8.

Passo 1

O enunciado dá uma sequência (a_n) que é progressão harmônica, ou seja, os inversos \bigl(b_n=1/a_n\bigr) formam uma progressão aritmética. Sabemos os três primeiros termos a_1=1, a_2=3, a_3=-3 e queremos a_{13}. Para isso, vamos:
  1. calcular b_1,b_2,b_3;
  2. determinar a razão d da PA (b_n);
  3. usar a fórmula do termo geral de PA para b_{13};
  4. inverter b_{13} para obter a_{13}.

Passo 2

Calcular os três primeiros termos da PA (b_n):
b_1 = \frac{1}{a_1} = 1,\quad b_2 = \frac{1}{a_2} = \frac{1}{3},\quad b_3 = \frac{1}{a_3} = -\frac{1}{3}.
A razão da PA é
d = b_2 - b_1 = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}.

Passo 3

O termo geral de uma PA é
b_n = b_1 + (n-1)\,d.
Para n=13:
b_{13} = 1 + (13-1)\Bigl(-\tfrac{2}{3}\Bigr) = 1 - 12\cdot\frac{2}{3} = 1 - 8 = -7.

Passo 4

Como a_{13} = 1/b_{13}, temos
a_{13} = \frac{1}{-7} = -\frac{1}{7}.

Resposta

b) -\tfrac{1}{7}

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