(UFMS-2000) Diz-se que um ponto P de um segmento \overline{\mathrm{AB}} efetua a divisão áurea desse segmento se \frac{A P}{A B}=\frac{P B}{A P}, onde A P, A B e P B denotam o comprimento dos segmentos \overline{\mathrm{AP}}, \overline{\mathrm{AB}} e \overline{\mathrm{PB}}, respectivamente. Considerando que o ponto P efetua a divisão áurea de um segmento \overline{\mathrm{AB}}, é correto afirmar que
(01) \mathrm{AP}=\sqrt{\mathrm{AB} \cdot \mathrm{PB}}
(02) \mathrm{AP}=\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) \cdot \mathrm{AB}.
(04) \mathrm{PB}=\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right) \cdot \mathrm{AB}.
(08) AP é raiz da equação x^{2}+(A B) x-(A B)^{2}=0.

Passo 1

O enunciado define o ponto P em um segmento de comprimento AB tal que
\frac{AP}{AB} = \frac{PB}{AP}.
O conteúdo aqui é estudo da divisão áurea em um segmento e usaremos álgebra básica para relacionar AP, PB e AB.

Passo 2

Da igualdade \tfrac{AP}{AB} = \tfrac{PB}{AP} fazemos produto em cruz:
AP^2 = AB \cdot PB.
Tomando a raiz positiva (já que segmentos têm comprimento positivo) vem
AP = \sqrt{AB \cdot PB},
logo a afirmação (01) é verdadeira.

Passo 3

Escrevendo AP = x e AB = L, temos também PB = L - x. Substituindo em x^2 = L\,(L - x) obtém-se a equação
x^2 + L\,x - L^2 = 0.
Isto mostra que AP é raiz da equação x^2 + (AB)\,x - (AB)^2 = 0, ou seja, a afirmação (08) é verdadeira.

Passo 4

Resolvendo a equação do passo anterior pelo fórmula de Bháskara,
x = \frac{-L \pm \sqrt{L^2 + 4L^2}}{2} = \frac{-L \pm L\sqrt{5}}{2}.
A solução positiva é
x = \frac{\sqrt{5}-1}{2}\,L = \frac{\sqrt{5}-1}{2}\,AB,
logo a afirmação (02) é verdadeira.

Passo 5

Como PB = AB - AP, calcula-se
PB = L - \frac{\sqrt{5}-1}{2}\,L = \frac{3-\sqrt{5}}{2}\,L,
que não coincide com \tfrac{\sqrt{5}+1}{2}L. Assim, a afirmação (04) é falsa.

Resposta

(01), (02) e (08) são verdadeiras.

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