(UFPB-99) Sabendo-se que o desenvolvimento de (a+b+c)^{n} é a soma de todos os termos da forma \frac{n!}{i!j!k!} a^{i} b^{j} c^{k}, \operatorname{com} i+j+k=n, então o coeficiente de x^{4} y^{3} z^{2} no desenvolvimento de (x+y+z)^{9} é igual a:
a) 10080
b) 3 / 8
c) 1
d) 9
e) 1260

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente de \,x^{4}y^{3}z^{2} na expansão de (x+y+z)^{9}. O conteúdo é a Teoria Multinomial, em que usamos a fórmula
\text{o coeficiente de }a^{i}b^{j}c^{k}\text{ em }(a+b+c)^{n} \;=\;\frac{n!}{i!\,j!\,k!},
sujeito a i+j+k=n.

Passo 2

Aqui temos n=9 e os expoentes i=4, j=3, k=2, que de fato satisfazem 4+3+2=9. Logo o coeficiente procurado é
\frac{9!}{4!\,3!\,2!}.

Passo 3

Calculamos os fatoriais:
9! = 362880,\quad 4! = 24,\quad 3! = 6,\quad 2! = 2.

Passo 4

Multiplicando o denominador:
4!\times3!\times2! = 24 \times 6 \times 2 = 288.

Passo 5

Dividindo:
\frac{9!}{4!\,3!\,2!} = \frac{362880}{288} = 1260.

Resposta

A alternativa correta é a letra e), ou seja, 1260.

Exercícios de Livros Relacionados