(UFRGS-13) Se a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{\text {по }}по é uma progressào aritmética de razão r, entāo a sequência a_{1}-a_{1101}, a_{2}-a_{24}, \ldots, a_{51}-a_{51} é uma progressão
(A) geométrica de razăo 2 r.
(B) geométrica de razão r.
(C) aritmética de razão - r.
(D) aritmética de razão r.
(E) aritmética de razão 2 r.

Passo 1

O enunciado diz que (a_{k}) é uma progressão aritmética de razão r e que formamos a sequência
b_{k} = a_{k} - a_{n-k+1},
para k=1,2,\dots,51, onde o último termo é a_{51}-a_{51}. Vamos ver que tipo de progressão é (b_{k}).

Passo 2

Usamos o termo geral da PA original: para todo k
a_{k} = a_{1} + (k-1)\,r,
a_{n-k+1} = a_{1} + \bigl((n-k+1)-1\bigr)\,r = a_{1} + (n-k)\,r.

Passo 3

Subtraindo, obtemos
b_{k} = a_{k} - a_{n-k+1} = \bigl[a_{1} + (k-1)r\bigr] - \bigl[a_{1} + (n-k)r\bigr] = \bigl((k-1)-(n-k)\bigr)\,r.

Passo 4

Simplificando o coeficiente de r:
(k-1)-(n-k) = k-1-n+k = 2k-(n+1),
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b_{k} = \bigl(2k-(n+1)\bigr)\,r.

Passo 5

Para ver a razão de (b_{k}), calculamos
b_{k+1}-b_{k} = \bigl[2(k+1)-(n+1)\bigr]r - \bigl[2k-(n+1)\bigr]r = 2r.
Portanto (b_{k}) é uma progressão aritmética de razão 2r.

Resposta

(E) aritmética de razão 2r.

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