(UFU-2000) Considere um poligono regular de n lados, circunserito em um circulo de raio 1 cm . O valor de n, para que o lado desse poligono tenha medida 2 cm , é igual a:

Passo 1

Resumindo, temos um polígono regular de n lados circunscrito a um círculo de raio 1 cm. Queremos encontrar n de modo que cada lado do polígono meça 2 cm. O conteúdo necessário é a relação trigonométrica que liga o apótema (que aqui é o raio do círculo) à medida do lado em um polígono regular.

Passo 2

Num polígono regular circunscrito a um círculo, o raio r do círculo coincide com o apótema a do polígono. Ao ligar o centro a dois vértices adjacentes, temos um ângulo central de 2\pi/n. Metade desse triângulo é um triângulo retângulo onde:
\tan\bigl(\tfrac{\pi}{n}\bigr) \;=\;\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}} \;=\;\frac{s/2}{a}.
Como a=r=1, obtém-se
\tan\bigl(\tfrac{\pi}{n}\bigr)=\frac{s}{2}.

Passo 3

Impondo s=2, vem
\tan\bigl(\tfrac{\pi}{n}\bigr)=\frac{2}{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{\pi}{n}=\tfrac{\pi}{4} \quad\Longrightarrow\quad n=4.

Resposta

4

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